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isoquante

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Tags: isoquanten gleichung

vinica2310 aktiv_icon

10:22 Uhr, 07.05.2020

Hi,
ich habe wieder mal mir isoquanten probleme:

Produktionsfunktion:

Y = F (K, L) = 5 L^{\frac{1}{2}} \cdot K^{\frac{1}{2}}

. Die Preise sind PL

= 30,

= 40

.

a)Bestimmen die die Gleichung der Isokostengeraden und deren Steigung.

als steigung habe ich:

- \frac{30}{40} = \frac{3}{4}

aber mit der gleichung habe ich probleme. Lagrange Ansatz ist das weiß ich aber ich schaffe es mit dem youtube auch nicht

b)Das Unternehmen entscheidet sich für eine Produktion von

100

Einheiten. Zeichnen Sie die entsprechende Isoquante.

bin für jede antwort dankbar

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Enano

13:38 Uhr, 07.05.2020

Hallo,

die Faktorgesamtkosten werden doch wie folgt berechnet:

C (Y) =

\cdot L +

\cdot K

Umstellen nach

K

ergibt:

K = - \frac{P L}{P K} \cdot L + \frac{C}{P K}

Einsetzen der gegebenen Preise führt zu:

K = - \frac{30}{40} \cdot L + \frac{C}{40} = - \frac{3}{4} \cdot L + \frac{C}{40}

Weil unter

a)

noch kein Output

(Y)

angegeben wurde und somit keine Faktorgesamtkosten

C

ermittelt werden können, erhält man für jeden festen Wert von

C

eine Geradengleichung.
Grafisch ergibt das eine Schar von Isokostengeraden, die parallel verlaufen, weil sie die gleiche Steigung haben.
Wenn du die Gleichung der Isokostengeraden für einen Output von

100

ermitteln möchtest, müsstet du

C (100)

berechnen. Dies wird aber eigentlich gar nicht in deinem Aufgabentext verlangt.

b)

kann du doch einfach anhand einer Wertetabelle lösen.

Besser wäre es nach der Minimalkostenkombination zu fragen und sowohl Isokostengerade als auch Isoquante grafisch darstellen zu lassen.
Hast du vielleicht den Original-Aufgabentext etwas verändert/verkürzt?
Wie dem auch sei, Lagrange brauchst du nicht.

vinica2310 aktiv_icon

14:20 Uhr, 07.05.2020

ja,es gibt noch 2 punkte dazu:

c)

Angenommen, das Unternehmen setzt

16

Einheiten Arbeit und

25

Einheiten Kapital zur Produktion von

100

Einheiten Output ein. Argumentieren Sie, ob dies eine kosten minimierende Inputkombination ist.

d)

Bestimmen Sie die kostenminimierende Input kombination und berechnen Sie die resultierenden Kosten.

Enano

14:56 Uhr, 07.05.2020

Hast du

c)

und

d)

nicht angegeben, weil du sie alleine lösen kannst oder nicht lösen möchtest bzw. zu lösen brauchst und kommst du jetzt mit

a)

und

b)

klar?

vinica2310 aktiv_icon

15:08 Uhr, 07.05.2020

Weil ich wollte zuerst selber probieren. So wie immer. Dachte wenn ich a und

b

löse dann wird mit die letzten 2 punkte nicht so schwer. Anscheinend hab ich mich getäuscht.

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16:29 Uhr, 07.05.2020

ich habe folgendes bekommen.

Ist das richtig???

wie soll ich jetzt die Isoquante zeichen?

Enano

17:19 Uhr, 07.05.2020

"kommst du jetzt mit

a)

und

b)

klar?" hast du aber nicht beantwortet.

Zu

a)

habe ich ja schon meine Lösung geschrieben. Es erstaunt mich nur, dass offensichtlich nach einer ganz bestimmten Isokostengeraden gefragt wird, ohne dass ein Output angegeben wird.
Bei

b)

setzt du in der Produktionsfunktion für

Y

die

100

ein und stelltst die Gleichung nach

K

um. Dann zeichnest du die entsprechende Isoquante anhand einer Wertetabelle

(z . B

L = 5,10,20,50,80,100)

. Zur Kontrolle:

K = \frac{400}{L}

d)

löst du wie folgt:

L

und

K

anhand der Produktionsfunktion ermitteln.

Dazu Expansionspfad einsetzen,

d . h

\frac{30}{40} \cdot L = \frac{3}{4} \cdot L

für

K

einsetzen.
Dann hast du nur noch eine Gleichung mit einer Unbekannten.

Erklärung: Die notwendigen Bedingungen für die Minimalkostenkombination führen zu

\frac{P l}{P K} = \frac{K}{L} = \frac{30}{40} = \frac{3}{4} \to K = \frac{3}{4} \cdot L

Näheres dazu(z.B. Herleitung der Expansionspfadgleichung) kann auf Wunsch geliefert werden.

Dann hast du bereits die Minimalkostenkombination.

Wenn du die entsprechende Isokostengerade bestimmen und zeichnen möchtest einfach die Gesamtkosten anhand der Kostenfunktion ermitteln und das

C

durch diesen Wert ersetzen.

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17:36 Uhr, 07.05.2020

Bei der d) stimmt der Wert für L nicht. Die Gleichung ist

100 = 5 \cdot L^{\frac{1}{2}} \cdot K^{\frac{1}{2}}

. Den Term für K einsetzen.

100 = 5 \cdot L^{\frac{1}{2}} \cdot {(\frac{3}{4} \cdot L)}^{\frac{1}{2}}

Gleichung durch 5 teilen.

20 = L^{\frac{1}{2}} \cdot {(\frac{3}{4} \cdot L)}^{\frac{1}{2}}

Nun

(a \cdot b)^{c} = a^{c} \cdot b^{c}

auf die Klammer anwenden.

20 = L^{\frac{1}{2}} \cdot {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} \cdot L^{\frac{1}{2}}

20 = L^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot L^{\frac{1}{2}}

Faktoren mit der Variablen L zusammenfassen und Gleichung mit 2 multiplizieren.

40 = L \cdot 3^{\frac{1}{2}} \Rightarrow L^{*} = \frac{40}{\sqrt{3}}

Enano

17:44 Uhr, 07.05.2020

"Ist das richtig???"

Nein.

\frac{3 L^{\frac{1}{2}}}{4}

ist falsch, sondern

{(\frac{3}{4} \cdot L)}^{\frac{1}{2}}

ist richtig und die 5 gehört nicht unter die Wurzel.
Und

C

stimmt dann natürlich auch nicht.
Meine Ergebnisse:

L = \frac{40}{\sqrt{3}} \approx 23,1

und

K = \frac{30}{\sqrt{3}} \approx 17,3

"wie soll ich jetzt die Isoquante zeichen?"

Wertetabelle aufstellen. Siehe meine Hinweise dazu.

Wenn du

d)

gelöst hast, solltest du auch

c)

beantworten können.

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19:15 Uhr, 07.05.2020

ich bin bei

b)

wenn ich für

Y

die

100

einsetze bekomme ich aber was anders als K=400/L??

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19:20 Uhr, 07.05.2020

Zeig mal deine Rechnung. Dann kann man mehr sehen.

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19:29 Uhr, 07.05.2020

also die steigung ist bei mir:

-PL/PK=-30/40=-3/4

die gleichung:

K=(C/PK)-(PL/PK)*L

Für

C = 100

K = (\frac{100}{40}) - (\frac{30}{40}) \cdot L

ich soll sowie gegeben

K = \frac{400}{L}

bekommen? Oder rechne ich etwas falsch?

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19:35 Uhr, 07.05.2020

>>Das Unternehmen entscheidet sich für eine Produktion von 100 Einheiten<<

Das heißt die Gleichung ist

100 = 5 \cdot L^{\frac{1}{2}} \cdot K^{\frac{1}{2}}

Das ist die Gleichung für eine Produktionniveau von 100. Wenn das soweit klar ist, dann die Gleichung nach K auflösen.

Noch zu deinem Ansatz: Bei deinem Ansatz ist das Verhältnis der Grenzproduktivitäten eine Konstante. Das ist aber bezogen auf die gesamte Isoquante nicht der Fall, sondern nur einem (optimalen) Punkt.

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19:46 Uhr, 07.05.2020

ich gebe nicht auf. ich will es endlich mal verstehen.
ich soll in diese Gleichung einsetzen:

100 = 30 \cdot 5 \cdot L^{\frac{1}{2}} \cdot 40 \cdot K^{\frac{1}{2}}

und jetzt nach

K

umstellen?

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20:12 Uhr, 07.05.2020

hab ich schon:

100 = 5 \cdot L^{\frac{1}{2}} \cdot K^{\frac{1}{2}}

K^{\frac{1}{2}} = 20 \cdot L^{- \frac{1}{2}}

K = \frac{400}{L}

und ich soll jetzt für

L

die werte einsetzen und die grafik zeichen?

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20:46 Uhr, 07.05.2020

>>Ich gebe nicht auf.<<

Bewundernswert.

>>und ich soll jetzt für L die werte einsetzen und die grafik zeichen?<<

Genau.

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20:49 Uhr, 07.05.2020

bei

d)

die resultierende kosten:

C (Q) = 30 \cdot 23,1 + 40 \cdot 17,3 = 1385

unter

c)

dann:

C (100) = 16 \cdot 23,1 + 25 \cdot 17,3 = 802,1

ich soll dann Argumentieren ob unter

c)

dies eine kostenminimierende inputkombination ist?
wenn ich richtig gerechnet habe, heißt das Ja?

Enano

21:26 Uhr, 07.05.2020

Unter

d)

hast du doch die kostenminimierende Input-Kombination ausgerechnet.
Wie kann denn dann eine andere Kombination,

z . B

. die unter

c)

noch kostengünstiger sein?
Überprüfe noch einmal deine Rechnung zu

c)

.
Bei

d)

werden ebenfalls die Kosten für einen Output von

100

und nicht von irgendeinem

Q

berechnet, also nicht

Q,

sondern

100

in Klammern schreiben.

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22:07 Uhr, 07.05.2020

C (100) = 16 \cdot 30 + 25 \cdot 40 = 1480

So sollte das sein. Und ist dann

d)

die kostenminimierende?

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22:09 Uhr, 07.05.2020

>>ich soll dann Argumentieren ob unter c) dies eine kostenminimierende inputkombination ist?
wenn ich richtig gerechnet habe, heißt das Ja?<<

Einfach Ja zu sagen reicht ja nicht.

Bei c) könnte man mit der Optimalitätsbedingung argumentieren. Und allgemein ist diese

- \frac{d K}{d L} = \frac{\frac{\partial Y}{\partial L}}{\frac{\partial Y}{\partial K}}

- (- \frac{3}{4}) = \frac{\frac{\partial Y}{\partial L}}{\frac{\partial Y}{\partial K}}

Ich habe hier links die Steigung der Isoquante eingesetzt, welche du schon ausgerechnet hast. Nun noch die partiellen Ableitungen verwenden indem man aus ihnen Bruch bildet. Wenn man das kürzt, dann ergibt das den Bruch

\frac{K}{L}

\frac{3}{4} = \frac{K}{L}

.

Optimale Mengen eingesetzt.

\frac{K}{L} = \frac{\frac{30}{\sqrt{3}}}{\frac{40}{\sqrt{3}}} = \frac{3}{4}

Also sind beide Seiten gleich

\frac{3}{4}

.

Die Kosten dürften richtig sein.

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07:30 Uhr, 08.05.2020

Das ganze bringt mich durcheinander. Ich werde es versuchen ihre Argumentation mit den Optimalitätsbedigungen zu verstehen. Trotzdem Danke

Enano

10:26 Uhr, 08.05.2020

Wenn du in deiner Grafik die Isokostengerade und die Isoquante eingezeichnet hast, sollten sich beide Kurven in einem Punkt berühren. Die Koordinaten (L,K)dieses Punktes zeigen dir die kostenminimalen Inputs an, weil in diesem Punkt die Steigung beider Kurven gleich ist.
Dies ist doch grafisch recht anschaulich.
Die notwendigen Bedingungen für eine Minimalkostenkombination kannst du auch rechnerisch mit der Lagrange-Methode erhalten.

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11:00 Uhr, 08.05.2020

Ok danke für dir ausführliche Antworte. Jetzt kann ich eine mit dem anderen verbinden. In einer grafik ist natürlich viel übersichtlicher.

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