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jede Lipschitz-stetige Kurve ist rektifizierbar

Universität / Fachhochschule

Stetigkeit

Tags: Lipschitz-stetig, rektifizierbar, Stetigkeit

Mathe12312 aktiv_icon

13:30 Uhr, 10.08.2021

Guten Tag allerseits,

Bei der folgenden Aufgabe komme ich leider auf keine grünen Zweig. Ich habe mir die Definitionen der beiden Begriffe mehrmals angeschaut und weiss immer noch nicht wie ich genau vorgehen soll.

Die Aufgabe ist im Anhang aufzufinden, bin um jede Hilfe sehr dankbar. :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Kartoffelchipsman aktiv_icon

14:31 Uhr, 10.08.2021

. .

Mathe12312 aktiv_icon

14:47 Uhr, 10.08.2021

vielen Dank für die Antwort. :-D)

ich kann denn beweis so schon nachvollziehen, alleine wäre ich wohl nie drauf gekommen :-)

gibt es da noch einen unterschied zwischen der "normalen" Stetigkeit und der Lipschitz Stetigkeit? oder kann man dies so übernehmen?

Kartoffelchipsman aktiv_icon

15:05 Uhr, 10.08.2021

Ich hab hier "jede stetig differenzierbare Kurve ist...",
was aber eine stärkere Bedingung ist, daher hab ich es wieder gelöscht.
Na ja, hier zum Gucken...

Kartoffelchipsman aktiv_icon

15:20 Uhr, 10.08.2021

Du sagst in Deinem ersten Beitrag,
Du hättest die Definitionen mehrmals gelesen.
Dann fragst Du in Deinem zweiten Beitrag,
ob Lippschitz-Stetigkeit und Stetigkeit sich unterscheiden.
Das lässt mich zweifeln, ob Konversation mit Dir,
insbesondere über Mathematik, überhaupt Sinn macht...

Mathe12312 aktiv_icon

16:00 Uhr, 10.08.2021

Entschuldigen Sie, leider habe ich mich wohl bisschen falsch ausgedrückt.

Es versteht sich von selbst, dass die Definitionen nicht die gleichen sind. Ich habe mich dabei eher auf den Beweis bezogen, und ob man es ähnlich mit der Lipschitz definition machen könnte, anstatt der Stetigkeits Definition. Da ich es auf den ersten Blick nicht selber sehe ob dies machbar ist...

So oder so, vielen Dank, dass du dir Zeit genommen hast.

Kartoffelchipsman aktiv_icon

16:48 Uhr, 10.08.2021

Ich würde den Beweis so führen:

Die Kurve ist lipschitzstetig

\Rightarrow

Die Kurve ist gleichmäßig stetig

\Rightarrow

Die Kurve ist stückweise linear approximierbar.

Wegen der Lipschitzstetigkeit gibt es eine obere Schranke

für die Kurvenlänge (sie existiert also und ist nicht etwa unendlich),

die somit approximiert wird.

Das natürlich noch formal elaborieren.

Dazu zwei Bilder.

Bei Wikipedia findest Du übrigens ein Beispiel,
nämlich die Wurzelfunktion, dafür, dass Stetigkeit
nicht Lipschitzstetigkeit impliziert.

Screenshot_20210810-164821_Adobe Acrobat

Kartoffelchipsman aktiv_icon

19:14 Uhr, 10.08.2021

Ahhh !

Vergiss, was ich hiervor gedichtet habe,
denn es geht so:

f : [0,1] \to R^{n}

rektifizierbar bedeutet, es gibt ein

T,

sodass es für jedes

ε > 0

ein

δ > 0

gibt,

sodass

| S - T | < ε

mit

S = \sum_{k = 1}^{m} | | f (t_{k}) - f (t_{k - 1}) | |

für jede Unterteilung

0 = t_{0} < t_{1} < ... < t_{m} = 1

der Feinheit

< δ

.

Definiert man eine Folge von Unterteilungen

U_{k}

mit

U_{k} \subset U_{k + 1}

und

lim_{k \to \infty}

Feinheit

(U_{k}) = 0,

so ist die Folge

S_{U_{k}}

monoton steigend und wegen

S_{U_{k}} \leq L

(der Lipschitz-Konstanten)

\forall k \in N

existiert

T = lim_{k \to \infty} S_{U_{k}}

.

Jetzt muss man noch begründen,
dass

T

für jede solche Folge

U_{k}

gleich ist
(Wer wird es tun ?), was man aber auch
intuitiv bejahen kann, wie ich kühn behaupte.

Das Schöne ist ja, dass der Begriff der Kurvenlänge
hier überhaupt noch keine Rolle spielt.
Dass die dann unter gewissen Umständen

T = \int_{0}^{1} | | f' (x) | | \cdot d x

ist, braucht uns hier
nämlich noch gar nicht zu interessieren !

Kartoffelchipsman aktiv_icon

23:20 Uhr, 10.08.2021

Und noch eine Kuriosität.
Meinem letzten Beitrag lag die hier angehängte
Definition zugunde, in der ein Grenzwert auftaucht,
den ich oben in

T

umgetauft habe.

Kartoffelchipsman aktiv_icon

23:26 Uhr, 10.08.2021

Nun habe ich aber auch noch eine andere Definition
von rektifizierbar gefunden, die nur ein Supremum fordert.
Das macht den Beweis sehr einfach (er taucht oben schon
als Gekrakel auf). Siehe hierzu dieses Skript

www.google.com/url?sa=t&source=web&rct=j&url=http://www.mathematik.tu-dortmund.de/sites/prof-dr-matthias-roeger/download/Vortrag4.pdf&ved=2ahUKEwi2_uHdsafyAhWw_7sIHebOC-QQFnoECDEQAQ&usg=AOvVaw0RD1djt0dewLNWbOSyITnH

und/oder die zwei angehängten Bilder.

Screenshot_20210810-231142_Adobe Acrobat

Screenshot_20210810-231228_Adobe Acrobat

Mathe12312 aktiv_icon

10:01 Uhr, 12.08.2021

Super Vielen Dank für deine Mühe!!! Dies hat mir sehr geholfen, vielen lieben Dank!

Kartoffelchipsman aktiv_icon

16:56 Uhr, 12.08.2021

Leider war ich bis zu meinem letzten Beitrag selber
auf dem Holzweg, da ich von besagter Definition
von Rektifizierbarkeit per Grenzwert ausgegangen bin.
Vielleicht habe ich daher versucht, etwas zu beweisen,
was gar nicht beweisbar ist bzw. zutrifft.
Die Definition von Rektifizierbarkeit per Supremum
scheint aber Standard zu sein, sie taucht

z . B

. auch bei
Wikipedia auf

de.m.wikipedia.org/wiki/Weg_(Mathematik)#Rektifizierbare_Wege

.Der einfache Beweis Deiner Aufgabe dazu ist ja oben auch schon zweimal zu finden.

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