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kanonische Projektion, Produkt topologischer Räume

Universität / Fachhochschule

Mengentheoretische Topologie

Tags: Mengentheoretische Topologie

Fabienne- aktiv_icon

23:03 Uhr, 25.04.2016

Sei

X

das Produkt topologischer Räume

(X_{i})_{i}

. Zeigen Sie, dass für jedes

i

die kanonische Projektion

p_{i} : X \to X_{i}

offene Mengen auf offene Mengen abbildet.

Hallo,

ich habe ein Problem mit dieser Aufgabe, weil ich leider keinen richtigen Ansatz finde sie zu bearbeiten.

Wir haben einen Satz über initiale Topologien bewiesen der hier vielleicht helfen kann.

Erst einmal zum Verständnis der kanonischen Projektion.
Ich habe ein Produkt aus topologischen Räumen, also irgendein n-Tupel

(X_{i_{1}}, X_{i_{2}}, . . ., X_{i_{n}})

Die kanonische Projektion

p_{i} : X \to X_{i}

bildet nun auf irgendeine dieser Komponenten ab.
Außerdem hat man nicht nur "eine" solche Abbildung, sondern für jede Komponente eine eigene, sehe ich das richtig?

Hat jemand einen Tipp wie man hier vorgehen kann?
Wie kann ich denn zeigen, dass offene Mengen wieder auf offene Mengen abgebildet werden?

Sei

U \in X

offen. Also

U

ist ein Tupel, welches offen bezüglich der Produkttopologie ist.

Was ich nun zeigen muss ist, dass die i-te Komponente dieser offenen Menge

U

, offen in

X_{i}

ist.
Dazu werde ich wahrscheinlich die Produkttopologie auf

X

ausnutzen.
Leider verstehe ich die Produkttopologie bisher nicht so gut. Wir haben sie, wie mir scheint mithilfe eines Satzes charakterisiert.

Kann mir jemand helfen?
Lieben Dank im voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Sina86

23:44 Uhr, 25.04.2016

Hallo,

ein Produkt von topologischen Räumen muss nicht unbedingt ein n-Tupel sein. Im Allgemeinen bildet man es über eine beliebige Indexmenge

I

(endlich, abzählbar unendlich, überabzählbar unendlich oder was auch immer). Dann ist das Produkt

X := {\dot{\cup}}_{i \in I} X_{i} := \cup_{i \in I} (X_{i}, i)

die disjunkte Vereinigung der Räume (das

i

im Tupel

(X_{i}, i)

ist wichtig, falls es

i \neq j

gibt mit

X_{i} = X_{j}

, da diese bei einer nicht disjunkten Vereinigung

X_{i} \cup X_{j} = X_{i}

ergäben). Ist

I

nun eine endlich Menge, so erhältst du ein n-Tupel.

Ein Element

x \in X

ist nun eine Funktion

x : I \to X

mit der Eigenschaft

x_{i} := x (i) \in X_{i}

. Das sind dann die Komponenten von

x

. Wieder, wenn

I

endlich sind, sind das dann

x_{1}

x_{2}

... (da man dann

I

als

{1, . . ., n}

wählt). Genauer gesagt gilt dann

x_{i} = p_{i} (x)

. Also ist

p_{i} : X \to X_{i}, x \mapsto x (i)

(nur so am Rande).

Die Produkttopologie auf

X

ist nun die Initialtopologie bzgl. aller kanonischen Projektionen

p_{i}, i \in I

. D.h. dass die Urbilder aller offenen Mengen in allen

X_{i}

unter allen Projektionen

p_{i}

eine Subbasis der Topologie auf

X

bilden.

Das heißt, jede offene Menge in

X

ist der endliche Schnitt von unendlichen Vereinigungen dieser Urbildmengen. Wenn du darauf nun

p_{i}

anwendest (und etwas AnaI-Mengenlehre bzgl. Schnitt / Vereinigungen in Zusammenhang mit Abbildungen), dann solte da etwas sinnvolles rauskommen ;-)

Lieben Gruß
Sina

Fabienne- aktiv_icon

11:05 Uhr, 26.04.2016

Danke für deine Antwort.

Also:

Sei

U \in X

offen.

Da

p_{i_{1}}^{- 1} (U_{1}) \cap . . . \cap p_{i_{n}}^{- 1} (U_{n})

mit

i_{1}, . . ., i_{n} \in I

und

U_{1} \subseteq X_{i_{1}}, . . ., U_{n} \subseteq X_{i_{n}}

offen, eine Basis der Topologie

τ_{X}

auf

X

bilden, ist jedes Element aus X als Vereinigung dieser Elemente darstellbar.

Dazu habe ich eine Frage. Welche Elemente genau bilden nun die Basis

ℬ

?
Enthält die Basis nur das eine Element

p_{i_{1}}^{- 1} (U_{1}) \cap . . . \cap p_{i_{n}}^{- 1} (U_{n})

, oder alle beliebigen endlichen Schnitte? Also auch

p_{i_{1}}^{- 1} (U_{1})

p_{i_{2}}^{- 1} (U_{2})

usw.

Sind

U_{1}, . . . ., U_{n}

bestimmte offene Mengen, die festgewählt werden, oder sind sie "austauschbar" also man bildet den Schnitt über alle beliebigen Kombinationen von offenen Mengen, die in den Mengen

X_{i_{1}}, . . ., X_{i_{n}}

enthalten sind?

Wenn ich nun die offene Menge U\in X hernehme, welche als endlicher Schnitt von unendlichen Vereinigungen der Urbilder

p_{i}^{- 1} (U_{i})

entstehen, dann kann ich (erstmal salopp aufgeschrieben, da ich nicht weiß wie die Menge

⋂ ⋃ A

, welche die entsprechenden Eigenschaften haben soll)

Also

p_{i} (⋂ ⋃ A)

Nun gilt doch

p_{i} (⋂ ⋃ A) \subseteq ⋂ p_{i} (⋃ A) = ⋂ ⋃ p_{i} (A)

A wäre darstellbar als

p_{i}^{- 1} (U_{i})

mit

U_{i}

also

= ⋂ ⋃ p_{i} (p_{i}^{- 1} (U_{i})) = ⋂ ⋃ U_{i}

offen, da offene Mengen unter unendliche Vereinigung und endlichem Schnitt abgeschlossen sind.

Jetzt müsste ich mir nur noch die korrekte Darstellung von

A

überlegen?

Sina86

13:52 Uhr, 26.04.2016

Hallo,

also die Basis sieht wie folgt aus:

B := {\cap_{k = 1}^{n} p_{i_{k}}^{- 1} (U_{i_{k}}) ∣ n \in ℕ, i_{k} \in I

für

k = 1, . . ., n, U_{i_{k}} \subseteq X_{i_{k}}

offen

}

Natürlich variieren diese Mengen über alle

X_{i}

und über alle

U_{i} \subseteq X_{i}

offen. Würde die Topologie auf

X

auch nur aus einer Menge bestehen ;-)

p_{i}^{- 1} (U_{i})

ist selbstverständlich auch Teil der Basis, denn 1 ist eine natürliche Zahl (und damit auch Teil der Topologie auf

X

).

Der Korrektheit halber ist jede offene Menge in

X

die evtl. unendliche Vereinigung von endlichen Schnitten, d.h. du hättes

U = \cup_{j \in J} \cap_{k = 1}^{n_{j}} p_{j_{k}}^{- 1} (U_{j_{k}})

.

Und der Rest des Beweises folgt dann aus dem, was du bereits aufgeschrieben hast...

Lieben Gruß
Sina

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