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kanonische basis,linearkombination

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Tags: Algebra, Linearkombination von Vektoren

anonymous

09:13 Uhr, 28.11.2013

Hallo,

ich soll zeigen, dass eine menge von vektoren eine basis von

ℝ^{4}

ist.

Ich hab 4 vektoren gegeben und weiß auch, dass ich zeigen muss, dass lin. unabhängigkeit gilt und dass diese 4 vektoren ein erzeugendensystem bilden.

aber es steht dabei: Stelle dazu die vektoren der kanonischen basis als linearkombination dieser menge dar.

ich weiß, was die kanonische basis ist.
aber ich weiß nicht genau, was mit dem satz gemeint ist.

soll mans so machen: k=kanonische basis,

v =

vektor

k \cdot v + k (2) \cdot v (2) + ... . + k (3) \cdot v (3) = 0

?

oder wie soll man das mit der kanonischen basis machen?

LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Bummerang

09:53 Uhr, 28.11.2013

Hallo,

Du hast 4 Vektoren

\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}, \vec{v_{3}}

und

\vec{v_{4}}

des

ℝ^{4}

gegeben und Du sollst zeigen, dass diese linear unabhängig sind und ein Erzeugendensystem bilden. Wenn die vier Vektoren linear unabhängig sind, sind sie auch en Erzeugendensystem,

d . h

. man muss nur zeigen, dass diese Vektoren linear unabhängig sind. Das macht man am einfachsten mit dem Gauss-Verfahren. Wenn man auch noch die Darstellung der kanonischen Basis

\vec{k_{1}}, \vec{k_{2}}, \vec{k_{3}}

und

\vec{k_{4}}

durch die Vektoren

\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}, \vec{v_{3}}

und

\vec{v_{4}}

erzeugen soll, dann bietet es sich an, alles in einem Schritt zu erledigen, denn was Du finden musst, ist die folgende Darstellung:

t_{11} \cdot \vec{v_{1}} + t_{12} \cdot \vec{v_{2}} + t_{13} \cdot \vec{v_{3}} + t_{14} \cdot \vec{v_{4}} = k_{1}

t_{21} \cdot \vec{v_{1}} + t_{22} \cdot \vec{v_{2}} + t_{23} \cdot \vec{v_{3}} + t_{24} \cdot \vec{v_{4}} = k_{2}

t_{31} \cdot \vec{v_{1}} + t_{32} \cdot \vec{v_{2}} + t_{33} \cdot \vec{v_{3}} + t_{34} \cdot \vec{v_{4}} = k_{3}

t_{41} \cdot \vec{v_{1}} + t_{42} \cdot \vec{v_{2}} + t_{43} \cdot \vec{v_{3}} + t_{44} \cdot \vec{v_{4}} = k_{4}

Diese 4 Gleichungssysteme und der Beweis der linearen Unabhängigkeit lassen sich in einem Schritt durch folgendes Schema im Gaussverfahren erledigen:

v_{i} = (\begin{matrix} v_{i 1} \\ v_{i 2} \\ v_{i 3} \\ v_{i 4} \end{matrix})

(\begin{matrix} v_{11} & v_{21} & v_{31} & v_{41} \\ v_{12} & v_{22} & v_{32} & v_{42} \\ v_{13} & v_{23} & v_{33} & v_{43} \\ v_{14} & v_{24} & v_{34} & v_{44} \end{matrix}) | (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})

Forme die linke Matrix so durch Zeilen-Operationen um, dass am Ende die Einheitsmatrix entsteht. Entsteht sie nicht, sind die Vektoren nicht linaer unabhängig (Rechenfehler mal aussen vor ;-)). Entsteht sie, sind die Vektoren linear unabhängig und bilden ein Erzeugendensystem. Auf der rechten Seite entsteht dabei durch die selben Umformungen die Inverse der linken Ausgangsmatrix. Stelle Dir die Ausgangsmatrix von rechts mit der inversen Matrix multipliziert vor, dann ergibt sich in der ersten Spalte der Ergebnismatrix eine Linearkombination der gegebenen Vektoren

\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}, \vec{v_{3}}

und

\vec{v_{4}},

die den ersten kanonischen Basisvektor

\vec{k_{1}}

ergeben. Damit stehen in der inversen Matrix in der ersten Spalte die Koeffizienten für die Darstellung des ersten kanonischen Vektors als Linearkombination der Vektoren

\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}, \vec{v_{3}}

und

\vec{v_{4}}

. In der zweiten Spalte dann natürlich die Koeffizienten für die Linearkombination des zweiten kanonischen Basisvektors usw. usf.

Fazit: Finde die Inverse der Matrix

(\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}, \vec{v_{3}}, \vec{v_{4}})

und Du hast alle drei Aufgaben in einem Abwasch erledigt!

anonymous

10:55 Uhr, 28.11.2013

Das nenn ich mal eine TOP Antwort!!! Danke, alles verstanden und auch schon eine Lösung rausbekommen.

LG

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