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kartesisches Produkt

Universität / Fachhochschule

Tags: für M und N

Quont aktiv_icon

01:22 Uhr, 30.10.2009

Hallo :-) ich benötige einmal eure Hilfe.

Welche der folgenden drei Formeln sind für

M

und

N

allgemein gültig?

1)

P(MxN) = P(M)xP(N)

2)

P(MxN) Teilmenge von

P (M) x P (N)

3) P (M) x P (N)

Teilmenge von P(MxN)

Ich finde leider keinen Ansatz

: (

Rentnerin

09:18 Uhr, 30.10.2009

Hallo,

es geht um die beiden Mengen

P (M \times N)

und

P (M) \times P (N)

.
Die Elemente von

P (M \times N)

sind beliebige Teilmengen

T \subset M \times N

, wobei die Elemente von

T

die Form

(m, n) ∣ m \in M, n \in N

haben.
Die Elemente von

P (M) \times P (N)

sind von der Form

U \times V

mit

U \subset M

und

V \subset N

, wobei

U \times V = {(u, v) ∣ u \in U \land v \in V}

ist.

Und jetzt stellst Du Dir vor

M = R = N

(die reellen Zahlen), dann hast Du einerseits alle Teilmengen von

R \times R ≅ R^{2}

und andererseits alle Produkte von Teilmengen aus

R

(also eine Teilmenge auf der x-Achse, die andere auf der y-Achse - sehr lasch formuliert!).

Hilft Dir das weiter?

Gruß Rentnerin

Quont aktiv_icon

18:41 Uhr, 31.10.2009

Dankeschön, ich denke/hoffe dass ich es verstanden habe.
Demnach wäre ja die zweite Aussage richtig.
Oder sehe ich das falsch?

Liebe Gruß

Rentnerin

19:15 Uhr, 31.10.2009

Nimm doch zur besseren Vorstellung wieder

M = R = N

, dann beschreibt

P (M \times N)

"alle" Teilmengen des

R^{2}

, während

P (M) \times P (N)

nur alle "Rechtecke" im

R^{2}

beschreibt.

Welche Beziehung ist nun richtig?

Mathematikerin aktiv_icon

15:03 Uhr, 01.11.2009

Hallo Rentnerin

deine Lösung ist sehr hilfreich. hab nur noch ne Frage dazu. was genau meinst du mit den "rechtecken"?

Rentnerin

16:55 Uhr, 01.11.2009

Naja, im einfachsten Fall hast Du zusammenhängende Teilmengen

U \subset R

(auf der x-Achse) und

V \subset R

(auf der y-Achse) und das Kreuzprodukt ist ein Rechteck in der Ebene.

Natürlich müssen diese Teilmengen nicht zusammenhängend sein; dann hast Du aber immer noch eine Vereinigung von Rechtecken oder Strecken oder Punkten. Das alles habe ich mit Anführungsstrichen als "Rechtecke" bezeichnet. Einen Kreis bringst Du allerdings mit dem Kreuzprodukt nicht heraus.

moeppel aktiv_icon

20:25 Uhr, 01.11.2009

Hmmm... ich verstehe den Sachverhalt jetzt und kenne die Lösung, aber ich weiß immer nicht, wie man das formal richtig aufschreiben kann. Hat da vielleicht jemand einen Tipp?

Rentnerin

20:50 Uhr, 01.11.2009

Die beiden Beziehungen 1) und 2) sind nicht allgemein gültig. Betrachte das Beispiel

M = {1; 2} = N

und die Teilmenge

T = {(1; 1); (1; 2); (2; 1)} \subset M \times N

, also

T \in P (M \times N)

.

Wäre auch

T \in P (M) \times P (N)

, dann gäbe es

U \subset M

und

V \subset N

mit der Eigenschaft

T = U \times V

. Aus

(1; 1) \in T

folgt

1 \in U

und

1 \in V

. Die beiden anderen Elemente von

T

liefern

2 \in U

und

2 \in V

und damit wäre

U \times V = M \times N

in Widerspruch zu

T \neq M \times N

.

Damit ist 2) als nicht allgemein gültig und somit auch 1) als nicht allgemein gültig nachgewiesen.

Bei 3) argumentierst Du so. Ist

W \in P (M) \times P (N)

, dann ist also

W = W_{1} \times W_{2}

mit

W_{1} \subset M \land W_{2} \subset N

, also

W = W_{1} \times W_{2} \subset M \times N

und damit

W \in P (M \times N)

moeppel aktiv_icon

21:00 Uhr, 01.11.2009

Danke für die schnelle Antwort. Darf ich denn beim Zeigen allgemeiner Gültigkeit Beispiele anbringen? Ich dachte immer, ich müsste das vollkommen allgemein formulieren und das ist mein Problem.

Rentnerin

21:11 Uhr, 01.11.2009

Hier handelt es sich doch um Gegenbeispiele dafür, dass "KEINE" Allgemeingültigkeit vorliegt.

moeppel aktiv_icon

21:13 Uhr, 01.11.2009

Das ist wohl wahr. Man kann sich das Leben auch kompliziert machen

\land

Hab ewig gerätselt und dabei die Lösung die ganze Zeit vor der Nase gehabt. Herzlichen Dank nochmal :-)

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