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nichtleere beschränkte Teilmengen
Universität / Fachhochschule
angewandte lineare Algebra
Tags: hzz
 
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Seien A und nichtleere beschränkte Teilmengen von R. zz SUPA SUPB A ist Teilmenge von und . Element A dann muss Element sein Jetzt verstehe ich auch wieso Supremum von A kleiner gleich supremum von sein muss weil es ein teilmenge von ist und nicht größer sein kann, nur wie zeige ich das? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hi, nun, zunächst einmal garantiert die Beschränktheit und Nicht-Leerheit der Mengen die Existenz von Supremas. Dann würd ich es spontan vlt mal mit einem Widerspruchsbeweis probieren. Angenommen , dann ist ... Gruß Sina |
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also ich hätte es so gemacht: x A x B Für Alle x A gilt x xB daraus folgt: sup(A)sup(B) |
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Die Teilmenge ist da falschen zwischen den ersten beiden Aussagen meines Erachtens |
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Also ich habe mir gedacht dass es ja eigendlich reicht zu beweisen, dass SupB nicht kleiner als SupA ist. Sei SupB<SupA so existiert ein mit Sup B=Sup A-Epsilon , dann muss (nach Def.)ein element a existieren mit x>SupB woraus folgt . Wiederspruch! ich glaube allerdings dass das noch nicht vollst. ist . |
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hmm gute Frage :-D) |
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Also aus meinem Schlauen Büchlein habe ich folgendes Definition (Supremum und Infimum) Eine Zahl ∈ bzw. ∈ heißt kleinste obere bzw. größte untere Schranke einer nichtleeren Teilmenge A ⊂ wenn sie 1. eine obere bzw. eine untere Schranke ist und 2. es keine kleinere bzw. größere Schranke von A gibt. Die kleinste obere Schranke einer Teilmenge A ⊂ nennen wir das Supremum von geschrieben Sup A. Die größte untere Schranke einer Teilmenge A ⊂ nennen wir das Infimum von geschrieben inf A. Ist die Menge A nicht beschränkt, so setzen wir Sup ∞ und inf −∞. Nun ja soweit so gut |
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kann mir einer vllt einen Tipp geben wie ich Sup Sup zeige? ich hab mir sehr lange die Definition gestern angeguckt und aufgrund der Teilmenge von A folgt ja diese Aussage, sie ist auch logisch aber nun ist es ja allgemein gehalten? bei konkreten Mengen mit Zahlen wäre es ja möglich zu zeigen? aber das Sup A ist höchstens gleich ja... hmm???? |
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Der Ansatz von Cadence ist prinzipiell richtig zz, dass Sup Sup A ist |
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oder irre ich mich da? andere Wege gibt es doch nicht |
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Hallo, ja, der Weg von Cadence ist korrekt, aber im Detail fehlt noch das eine oder andere. Darum geht es ja am Anfang des Studiums: Mathematische Arbeitsweise an eher einfachen Themen kennenlernen. Sei also , also gilt . Jetzt geht es darum zu beweisen, dass es dann ein Element AUSSERHALB von geben muss. Dazu verwendet man entweder Ergebnisse aus der Vorlesung oder muss diese eben selbst beweisen. Ein geeignetes Ergebnis aus der Vorlesung wäre das folgende Lemma (ist womöglich auch bei euch vorgekommen): Lemma: Sei eine nichtleere und beschränkte reelle Menge, und beliebig. Dann gibt es (mindestens) ein für das gilt. Beweis: Seien die Voraussetzungen gegeben und nehmen wir an, es gäbe für das allgemeine (aber im folgenden feste) KEIN solches , d.h. für alle gälte . Dann wäre aber schon eine obere Schranke von . Eine kleinere obere Schranke als das Supremum, das ja (per def) die KLEINSTE obere Schranke ist. Widerspruch Mit Lemma können wir uns ein passendes verschaffen. Dazu wählen wir (, , usw. geht auch). Gemäß Lemma gibt es also ein mit . Dann gilt . Da gilt, kann NICHT in enthalten sein. Es gilt also . ( nicht Teilmenge ) So, also insgesamt wurde gezeigt: , was Äquivalent ist zu dem, was zu beweisen ist. Mfg Michael |
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Also gehen wir am Anfang von einer falschen Aussage aus um Sup Sup zu beweisen Also Sup Sup . |
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Hallo, der erste Satz: ok. Stichwort zum Googlen: Kontraposition, ach, nee. Ich geb dir lieber selbst einen Link an: http//de.wikipedia.org/wiki/Kontraposition Aber schon die Umsetzung...! Die logische Negation zu ist NICHT . Da wurden ja nur die Rollen von und vertauscht. Mfg Michael |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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