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kgV-Regel beweisen

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Elementare Zahlentheorie

Teilbarkeit

Tags: Elementare Zahlentheorie, Teilbarkeit

 
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Clemensum

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15:45 Uhr, 17.05.2011

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Man zeige: Ist k≥2,n1,…,nk∈Z\{0},
so gilt kgV(kgV(n1,…,nk-1),nk)=kgV(n1,…,nk)

Ich habe leider mit solchhen (dahintersteckenden) Beweisen noch keinerlei Erfahrung gemacht!

Wenn ihr mir z.B. vorbeweist, dass kgV(kgV(a,b),c)=kgV(a,b,c) gilt, dann würde ich es verallgemeinern und damit meine Aufgabe lösen!

Wäre über eure Hilfe dankbar! :-)

Meine Frage: Könnte man anders als über die Primfaktorzerlegung von n1,…,nk argumentieren? Es ist doch einleuchtend, dass der obige Satz gilt, denn es werden ja immer die Potenzen mit den höchsten vorkommenden Exponenten multipliziert.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
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michaL

michaL aktiv_icon

16:40 Uhr, 17.05.2011

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Hallo,

1. kann man diese Dinge leicht beweisen, wenn man die Primfaktorzerlegung verwendet.
Sei etwa für eine beliebige natürliche Zahl n>0 und eine Primzahl p definiert wp(n):=max{k∈ℕ∣pk∣n} als die größte in n aufgehende Potenz von p.

Ist dann für die Zahlen n1,…,nk die Menge E die Menge aller der Primfaktoren, die in irgendeinem der ni aufgehen, so kann man leicht kgV(n1,…,nk)=∏p∈Epmax(wp(n1),…,wp(nk)) beweisen. Daraus leitet man die Aussage sehr einfach ab.

Aber es geht auch ohne dieses Ungetüm, für das man ja wenigstens die Voraussetzung einer eindeutigen Primfaktorzerlegung braucht.
Ich schätze, dass ihr ein ähnliches Ergebnis für den ggT bewiesen habt. Den Beweis kann man eigentlich einfach adaptieren.

Für einen Beweis unabhängig von alledem brauche ich (das ebenfalls einfache) Resultat, dass kgV(n1,…,nk-1)∣kgV(n1,…,nk), was aber tatsächlich sehr einfach zu beweisen ist.

Damit und den Abkürzungen
m:=kgV(n1,…,nk-1)
p:=kgV(m,nk)
q:=kgV(n1,…,nk)
geht das recht einfach:

(i) m ist Vielfaches von n1,…,nk-1, d.h. es gelten n1∣m,…,nk-1∣m.
Außerdem ist p Vielfaches von m und nk, d.h. es gelten m∣p und nk∣p.
Zusammen mit der darüber stehenden Aussage folgt also n1∣m∣p,…,nk-1∣m∣p und nk∣p, d.h. p ist ein Vielfaches aller n1,…,nk.
Damit ist also das KLEINSTE gemeinsame Vielfache q dieser Elemente kleiner (oder gleich) als p, d.h. es gilt q≤p.

(ii) Umgekehrt ist m=kgV(n1,…,nk-1) ein Teiler von q=kgV(n1,…,nk) (Einleitung!), außerdem ist auch nk ein Teiler von q, d.h. q ist ein Vielfaches von sowohl m als auch nk.
Das KLEINSTE gemeinsame Vielfache der beiden p=kgV(m,nk) kann daher nicht größer sein als q, d.h. es gilt auch p≤q.

Zusammen folgt also q≤p≤q, also p=q, was du gerne gezeigt haben wolltest.

Mfg Michael

Anmerkung: Man kann mit nur wenig mehr Mühe die Aussagen p≤q und q≤p verschärfen zu p∣q bzw. q∣p. Das ist aber nicht nötig an dieser Stelle. Außerdem braucht man dazu tatsächlich mehr background. Ich habe hier die universelle Eigenschaft des KLEINSTEN gemeinsamen Vielfaches genutzt. Das reicht für diesen Beweis.
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