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klassisches Rosinenproblem

Schüler

Tags: kugel-fächer-modell, Stochastik

Sabine2 aktiv_icon

19:04 Uhr, 04.12.2012

Hallo,
ich schlage mich hier wieder mit einem STochastik Problem in Vorbereitung auf mein Vorabi rum, und komme nicht weiter.

Ich habe

100

Brötchen, auf denen

n

Rosinen aufgeteilt werden sollen. Wie muss

n

gewählt werden, damit mit einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von mindestens

90 %

eine Rosine in einem Brötchen ist.

Für mich klingt das sehr nach Kugel-Fächer-Modell. Sprich

100

Fächer und

n

Kugeln.

P (X = 1) = \frac{n}{10} \cdot {(\frac{99}{100})}^{n - 1} \geq 0,9

muss dann doch gelten. Kann man die Ungleichung lösen?

Danke!
Sabine

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

mimimaus aktiv_icon

19:46 Uhr, 04.12.2012

Na na na - Mathekalender-Aufgaben soll man aber selber rechnen.....

;-)

Sabine2 aktiv_icon

20:19 Uhr, 04.12.2012

Mathekalender??? Sorry, aber das ist keine Mathekalender-Aufgabe, was auch immer das ist! Ich versuche, wie schon erwähnt, mich auf mein Probeabi vorzubereiten.

mathemaus999

20:38 Uhr, 04.12.2012

Hallo,

schau mal, vielleicht hilft dir das weiter.

Grüße

Sabine2 aktiv_icon

21:05 Uhr, 04.12.2012

Ja genau, das meinte ich mit Kugel-Fächer-Modell. Jetzt habe ich ja eine Gleichung aufgestellt, möchte die dann nach

n

lösen. Wie geht das? Ich habe mal Werte eingesetzt und ausprobiert. Für größer werdende

n

wird es stetig kleiner als

0,9

. Keiner meiner ausprobierten Werte erfüllt die Ungleichung.

Capricorn-01 aktiv_icon

07:15 Uhr, 05.12.2012

Ich habe dazu zwei Fragen:
-Wie kommst Du in Deiner Ungleichung auf

\frac{n}{10}

?
-Wie lautet die Frage exakt? Es kommt bei solchen Aufgaben sehr auf die Formulierung an. So wie Du es geschrieben hast, könnte man mit

n = 1

antworten. Dann gibt es mit einer Wahrscheinlichkeit von

100 % 1

Brötchen, das 1 Rosine hat. Aber das ist hier nicht gemeint. Soll exakt 1 Brötchen genau 1 Rosine haben, oder mindestens 1 Brötchen mindestens 1 Rosine? Oder wenn ich ein beliebiges Brötchen auswähle, soll sich darin mindestens 1 Rosine befinden? Mir scheint, die Aufgabe muss zuerst einmal genauer definiert sein. Am besten den genauen Wortlaut der Aufgabe hinschreiben!
LG, Capricorn

Sabine2 aktiv_icon

09:14 Uhr, 05.12.2012

Den genauen Wortlaut habe ich nicht, unsere Lehrerin hat uns die Aufgabe diktiert und ich habe Stichpunkte mitgeschrieben.
Aber es sollen in ALLEN

100

Brötchen mindestens 1 Rosine sein. Und dies soll mit

90 %

Sicherheitswahrscheinlichkeit der Fall sein.

Ich habe mir gestern Abend nochmal Gedanken gemacht und habe jetzt folgendes:

X :

Anzahl der Rosinen in einem Brötchen.

X

binomialverteilt mit

n =

? und

p = 0,01

P (X \geq 1) = 1 - P (X = 0) = 1 - (\begin{matrix} n \\ 0 \end{matrix}) \cdot {0,01}^{0} \cdot {0,99}^{n} \geq 0,9

Also,

{0,99}^{n} \leq 0,1

Für

n = 230

und aufwärts ist es erfüllt.
Kann man dies so machen?

Die Erfolgswahrscheinlichkeit

p

habe ich hier gemäß dem Modell 1/Anzahl der Fächer gewählt. Aber wieso ist das so? Mit würde eine Erfolgswahrscheinlichkeit von

p = \frac{n}{100}

logischer Erscheinen.

Capricorn-01 aktiv_icon

12:44 Uhr, 05.12.2012

Du kannst es so überlegen: Wenn die Brötchen nummeriert sind, kannst Du jedem Rosinchen eine Brötchen-Nummer von 1 bis

100

zuordnen. Dass

z . B

. Brötchen Nr.1 bei einer Rosine gewählt wurde, dafür ist die Wahrscheinlichkeit

\frac{1}{100}

.
Mit Deiner Formel P(X≥1) hast Du die Wahrscheinlichkeit für EIN Brötchen gerechnet. Jetzt muss dies aber für ALLE

100

gerechnet werden.
Das ergibt

{(1 - {(\frac{99}{100})}^{n})}^{100} \leq 0.9

Wenn Du

b^{n} = a

nach

n

auflösen musst, gibt das

n = \frac{ln (a)}{ln (b)}

Damit komme ich auf

683

Rosinen.

Capricorn-01 aktiv_icon

07:28 Uhr, 06.12.2012

Nachtrag zum letzten Beitrag: Die Formel

{(1 - {(\frac{n - 1}{n})}^{x})}^{n}

mit n=Anzahl Brötchen und x=Anzahl Rosinen ist nur eine Näherung.

Ich habe einmal für 9 Rosinen und 5 Brötchen maschinell gezählt, wieviele Verteilungen es gibt, bei denen jedes Brötchen mindestens 1 Rosine bekommt:
Von

5^{9}

möglichen Verteilungen kam ich auf

834120,

die die Bedingung erfüllen. Das gibt eine Wahrscheinlichkeit von

42.706944 %

Mit der Formel kommt man auf

48.6456 %

(bei grösseren Abständen zwischen

x

und

n

müsste die Annäherung besser sein)

Die Wahrscheinlichkeit, in einem bestimmten Brötchen genau

k

Rosinen zu haben ist:

(\begin{matrix} x \\ k \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{n})}^{k} \cdot {(\frac{n - 1}{n})}^{x - k}

Das gilt aber nur für 1 Brötchen, nicht für alle.

Mit Hilfe von Google habe ich noch folgende Dokumente/Seiten zum Thema gefunden:
http//www.oemg.ac.at/DK/Didaktikhefte/2008%20Band%2041/VortragBorovcnik.pdf
http//gfs.khmeyberg.de/0809/0809Kurs12Ma1e/0809UnterrichtMathematik12MA1eZufallsgroessenWahrscheinlichkeitsverteilungen.html

Nachtrag:
Ich habe das Verfahren gemäss dem ersten Link (Vortrag von Borovcnik und Neuwirth) in Excel durchgeführt. Die Wahrscheinlichkeit von

90 %

wurde bei

683

Rosinen erreicht. Das zeigt, dass obiges Näherungsverfahren bei etwas grösseren Zahlen bestens funktioniert. Die Formel in

A 2

kann runterkopiert, die von

B 2

kann nach rechts bis zur

100

. Spalte und nach unten kopiert werden. Die Spalten sind die Brötchen, die Zeilen sind die Rosinen. Im Pfad nach unten geht man, wenn ein bisherig belegtes Brötchen, nach rechts wenn ein nicht belegtes gewählt wird. Es ist im Grunde genommen eine Art Wahrscheinlichkeitstabelle.
Ich denke für eine Maturitätsprüfung wäre diese Aufgabe zu anspruchsvoll, müsste man sie mit der exakten Methode rechnen.

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