kleinster y-wert

Extrema werden immer so ausgerechnet:

f ' (x) = 0

Also bei einer Normalparabel z.b: (x+4)²+2 (4 nach links verschoben, 2 nach oben) wird erstmal abgeleitet:

f '(x)= 2*(x+4)=2x+8

Das gleich null setzen 2x+8=0

x=-4

Jetzt rausfinden ob das ganze ein Hoch oder ein Tiefpunkt ist:

f ''(x)=0

Falls <0 --> Hochpunkt

Falls >0 --> Tiefpunkt

Also f ''(x)=2 --> Tiefpunkt.

Gruß RQ

Die allgemeine Gleichung einer Parabel ${\displaystyle \mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ lässt sich für mit Hilfe der quadratischen ergänzung ${\displaystyle \mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\ne 0}$ immer in die Scheitelpunktform ${\displaystyle \mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}{(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}})}^2+{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ bringen.

Aus der Scheitelpunktform kann man direkt den Scheitelpunkt ${\displaystyle \mathrm{S<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left({\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\right|{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}})}$ ablesen.

Falls a>0 ist S ein Minimum, für a>0 ist S ein Maximum.

Beispiel:

${\displaystyle \mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}={\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+4\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+7\Rightarrow \mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}={\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+4\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+(4-4)+7}$ Das ist die berüchtoigte quadratische Ergänzung.

${\displaystyle \mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}={\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+4\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+4+3\Rightarrow \mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}={(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+2)}^2+3}$ Man hat sich die Zahlen so hingebastelt, dass eine binomische Formel entsteht.

Also ist der Scheitelpunkt S(-2|3) Der minimale wert yür y ist 3.