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kleinstes/größtes Element

Schüler Ausbildungsstätte,

Tags: Element, größtes, kleinstes, mengen

 
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SoNyu

SoNyu

17:19 Uhr, 28.11.2013

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Hi, folgende Aufgabe:

Das Element s heißt kleinstes (größtes) Element von M, falls s eine untere (obere) Schranke von M ist und s∈M gilt.

I) Zeigen Sie, dass jede nichtleere nach unten (oben) beschränkte Teilmenge aus ℤ ein kleinstes (größtes) Element besitzt.

II) Gilt die Aussage auch für nichtleere nach unten (oben) beschränkte Teilmengen aus ℚ?

Für II) kann ich eigentlich ganz leicht zwei Gegenbeispiele angeben?
Wie 1/n mit n≠0 und n∈ℤ
Wäre eine nach unten beschränkte Menge, die kein kleinstes Element hat.
Selbes könnte ich auch für eine nach oben beschränkte Menge machen.
Würde das reichen? (Natürlich müsste ich das ganze auch noch als Menge aufschreiben)

Für I)

Hier sollte doch das Wohlordnungsprinzip helfen, also das eine nichtleere Menge natürlicher Zahlen ein kleinstes Element besitzt. Das einzige was hier störend wäre, wäre der Zahlenbereich der ganzen Zahlen.

Ich könnte hier aber doch eine Art Fallunterscheidung machen. Ich unterteile die Menge in nicht negative und negative ganze Zahlen. Wenn ich nun das größte Element suche, dann ist dieses in der Teilmenge der nicht negativen ganzen Zahlen, falls diese nicht leer ist. Wenn diese leer sein sollte, dann würde ich die negative Menge der negativen Zahlen betrachten, damit sich die Vorzeichen drehen und ich wieder eine Menge natürlicher Zahlen hätte.

Könnte man da so ran gehen? Oder gibt es auch einen einfacheren Weg?



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el holgazán

el holgazán aktiv_icon

20:24 Uhr, 28.11.2013

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Zu I) kann man auch mit dem Auswahlaxiom arbeiten.

Sei M⊂ℤ eine nach unten durch c∈ℤ beschränkte Menge und z∈M.
Definiere Mz:={m∈M∣m<z}
Falls Mz=∅ ist z≤m∀m∈M also z das kleinste Element.
Falls Mz≠∅ gilt nun c≤m<z∀m∈M und somit ∣Mz∣<∞
Wähle zʹ∈Mz und wiederhole die Konstruktion. Nach Konstruktion muss gelten ∣Mzʹ∣<∣Mz∣ und somit muss der Fall My=∅ für ein y∈ℤ eintreffen.

Ja, bei II) reicht ein Gegenbeispiel. Hier stimmt die Aussage z.B. nicht für alle offenen Intervalle.
Frage beantwortet
SoNyu

SoNyu

20:36 Uhr, 28.11.2013

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Vielen Dank für die Antwort.