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koendliche topologie

Universität / Fachhochschule

Tags: endliche durchschnittseigenschaftm, koendliche topologie, Konvergenz

freed aktiv_icon

12:44 Uhr, 15.01.2011

hallo!

ich verstehe ein paar teile über die koendliche topologie nicht:
es geht um die koendliche Topologie auf

ℤ :

x = ℤ, τ = {U \subseteq ℤ | ℤ \ U

ist endlich

}

\cup {0}

1 .)

das ist eine Topologie:

i) \emptyset \in τ

klar,

ℤ \in τ,

ℤ \ ℤ = \emptyset \in τ

ii) seien

U_{1}, U_{2} \in τ

zu zeigen:

U_{1} \cap U_{2} \in τ

ℤ \ U_{1}

und

ℤ \ U_{2}

sind endlich

\Rightarrow ℤ \ U_{1} \cap ℤ \ U_{2} = ℤ \ (U_{1} \cap U_{2})

ist endlich

\Rightarrow U_{1} \cap U_{2} \in τ

iii)sei:

Z \subseteq τ

(mit

Z

Menge von offenen Mengen) zu zeigen

⋃ Z \in τ

⋃ Z = {x \in X | \exists U \in Z

mit

x \in U}

wie zeige ich das?

2 .) ℤ

mit der koendlichen Topologie ist kompakt: wie zeige ich das mit der endlichen Durchschnittseigenschaft? was bedeutet die endliche durchschnittseigenschaft eigentlich?

3 .) ℤ

mit der koendlichen Topologie,

J = ℕ, x_{j} = j

. wo gegen konvergiert die Folge

{(x_{j})}_{j \in ℕ}

??

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Sina86

16:12 Uhr, 15.01.2011

Hi freed,

ich möchte dir gerne helfen, aber muss mich in die Thematik auch erst mal wieder eindenken. Deswegen fange ich erst einmal nur mit der 1.) an.

Zunächst soll wohl in der Topolobie

\emptyset

und nicht 0 enthalten sein. Dann gibt es ein paar Kleinigkeiten:

Bei i)

ℤ

ist nicht in

τ

enthalten, da

\emptyset

τ

enthalten ist, sondern da

ℤ ∖ ℤ = \emptyset

endlich ist (nämlich 0 Elemente enthält).

Bei ii) Allgemein gilt für Mengen

A, B \subseteq M

, dass

M \ A \cap M \ B = M \ (A \cup B)

. Deswegen musst du bei dir die Gleichung

M \ A \cup M \ B = M \ (A \cap B)

verwenden. Diese Zusammenhänge (de Morgan´sche Regeln) lassen sich auch gut durch Mengen-Diagramme verdeutlichen...

Bei iii)
Sei

I

eine Indexmenge und die Mengen aus

Z

beschrieben durch

U_{i} \in Z \subseteq τ

, für

i \in I

. Dann gilt insbesondere für

ℤ \ \cup Z = ℤ \ \cup_{i \in I} U_{i} = \cap_{i \in I} ℤ \ U_{i}

. Hier habe ich auch wieder die de Morgan´schen Regeln angewendet. Nun ist

ℤ \ U_{i}

eine endliche Menge, da

U_{i} \in τ

(laut Definition von

τ

), und da durch Schnitte von zwei Mengen die Elementzahl der Mengen entweder reduziert wird oder gleich bleibt, ist

\cap_{i \in I} ℤ \ U_{i} = ℤ \ \cup Z

endlich und somit

\cup Z \in τ

.

Du siehst also, für diese Thematik ist es äußerst wichtig, sich die de Morgan´schen Gesetze noch einmal anzuschauen ;-)

Lieben Gruß
Sina

Sina86

16:32 Uhr, 15.01.2011

So, zu 2.)

Wie du hoffentlich weißt, gibt es einen Kompaktheitsbeweis über offene Mengen. "Eine Menge ist genau dann kompakt, wenn es für jede offene Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung gibt". Mit Sicherheits weißt du ja, dass es einen Zusammenhang zwischen abgeschlossenen Mengen und offenen Mengen gibt:

A \subseteq X

ist abgeschlossen, wenn

X \ A \in τ

, also das Komplement dieser Menge

A

offen ist.

Die endliche Durchschnittseigenschaft ist nun einfach das obige Kompaktheitskriterium auf ABGESCHLOSSENE Mengen umgeschrieben.

Sei

Ω \subseteq τ

eine offene Überdeckung von

X

, d.h.

\exists

Indexmenge

I

und

O_{i} \in Ω

, für

i \in I

, und

X = \cup_{i \in I} O_{i}

. Wenn

X

nun kompakt ist, gibt es eine endliche Teilüberdeckung, d.h.

J \subseteq I

endlich, so dass

X = \cup_{j \in J} O_{j}

.

Nun versuchen wir das auf abgeschlossene Mengen umzuschreiben, dafür betrachten wir die Komplemente der Mengen:

\emptyset = X \ X = X \ \cup_{i \in I} O_{i} = \cap_{i \in I} X \ O_{i}

. Da

O_{i}

offen ist, ist

X \ O_{i}

abgeschlossen (denn

X \ (X \ O_{i}) = O_{i} \in τ

). Wir nennen

A_{i} = X \ O_{i}

. Dann steht dort:

\emptyset = \cap_{i \in I} A_{i}

. Da wir

J \subseteq I

endlich haben, können wir auch schreiben:

\emptyset = \cap_{j \in J} A_{j}

. Für jede beliebige Indexmenge

I

kann ich jetzt immer ein endliches

J

finden, so dass dies erfüllt ist. Das ist die Definition der endlichen Durchschnittseigenschaft.

Sina86

16:41 Uhr, 15.01.2011

Und schließlich bei 3. musst du mir noch mal auf die Sprünge helfen. Ist die Konvergenz einer Folge in einem topologischen Raum so definiert:
http//de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert_%28Folge%29#Grenzwert_einer_Folge_von_Elementen_eines_topologischen_Raumes
???

freed aktiv_icon

17:11 Uhr, 15.01.2011

hey!

danke, die konvergenz einer folge in einem topologischen raum

X

ist so definiert:
sei

J \subseteq ℕ

unendlich, die Folge

{(x_{j})}_{j \in J} \in X

konvergiert gegen

x \in X,

wenn für alle Umgebungen

N_{x}

von

x

die Menge

{j \in J | x_{j} \neq N_{x}} < \infty

ist.

Sina86

15:43 Uhr, 16.01.2011

Hi freed,

kannst du dir deine Konvergenzdefinition noch einmal anschauen? Irgendwie ergibt die keinen Sinn, ich würde behaupten, eine Folge konvergiert, wenn die Menge

{j \in J ∣ x_{j} \in N_{x}} = \infty

ist.

Gruß
Sina

freed aktiv_icon

16:16 Uhr, 16.01.2011

hey!

warum ergibt die definition keinen sinn?
bei mir steht, dass nur endlich viele

x_{j}

nicht in

N_{x}

sind.
(dann sind doch unendlich viele

x_{j} \in N_{x})

?

gruß

Sina86

18:43 Uhr, 16.01.2011

Ah, entschuldige, ja das ergibt durchaus Sinn :-) Habe das

\neq

-Zeichen irgendwie zu interpretieren versucht und dachte, da hätte eigentlich ein

\in

hingehört... Nein, so macht es natürlich Sinn.

Welche konkreten Fragen hast du denn noch zu den Aufgaben?

freed aktiv_icon

20:08 Uhr, 16.01.2011

ok, gut. ja, ich habe noch 2 fragen:

1 .)

wie zeige ich das

ℤ

mit der koendlichen Topologie kompakt ist?
ich habe do angefangen:
sei

W

ein System von abg. Mengen von

ℤ

. Sei I eine Indexmenge und

A_{i} \in W \forall i \in I

.
jetzt muss ich doch zeigen, dass:

⋂_{i \in I} A_{i} = \emptyset \Rightarrow \exists

ein

J \subseteq I

endlich, so dass

⋂_{j \in J} A_{j} = \emptyset

oder?
Für

W = {\emptyset}

ist es klar. und für

W = {ℤ}

? und überhaupt für eine beliebige Menge von abgeschlossen Mengen, so dass

⋂_{i \in I} A_{i} = \emptyset

2 .)

sei auf

ℤ

die koendliche Topologie,

J = ℕ

und

x_{j} = j

. wo gegen konvergiert die Folge

{(x_{j})}_{j \in ℕ}

? Wie kann ich das bestimmen?

liebe grüße

Sina86

20:39 Uhr, 16.01.2011

Hi,

ok, also zur 1.) Frage. Zunächst einmal erfüllt

W = {ℤ}

nicht die Bedingung, denn dort kannst du nur

ℤ

mit sich selber schneiden und du bekommst niemals

\emptyset

raus.

Dann muss man sich bei beliebigen abgeschlossenen Mengen überlegen, was eine abgeschlossene Menge in der kofiniten Topologie ist. Ist

A

abgeschlossen, so existiert ein

O \in τ

, so dass

A = ℤ \ O

. Nach Definition der Topologie ist

ℤ \ O

aber endlich. Demnach sind die abgeschlossenen Mengen von

ℤ

alle endlichen Teilmengen.

Nun muss man ein wenig knobeln. Angenommen

W

enthält zwei disjunkte Mengen, dann bist du eigentlich fertig, denn dann wählst du als

A_{i}, A_{j}

diese disjunkten Mengen und

J = {i, j}

erfüllt die Bedingung. Interessant wird es erst, wenn

W

keine disjunkten Mengen enthält. Nun wähle ein

A_{i} = {n_{1}, . . ., n_{k}}

. Ich weiß, dass für jedes

j \in I

gilt,

A_{i} \cap A_{j} \neq \emptyset

. Da jedoch

\cap_{i \in I} A_{i} = \emptyset

, muss es eine Menge

A_{s}

geben, für die gilt

A_{s} \cap A_{i} \neq A_{i}

. Da jedoch

A_{s} \cap A_{i} \subset A_{i}

, ist also

M := A_{s} \cap A_{i} = {m_{1}, . . ., m_{r}}

mit

r < k

und

m_{l} \in A_{i}

, für

l \in {1, . . ., r}

. Für

M

kann man das ganze jetzt wiederholen und ist spätestens nach

k

Schritten fertig (d.h. danach ist der Schnitt leer). Damit hat man dann seine Menge

J

gefunden.

Bei der zweiten Frage muss man ein Gefühl dafür entwickeln, wogegen die Folge konvergieren könnte. Eigentlich gibt es nur zwei mögliche Punkte, nämlich gegen das "Ende" des Zahlenstrahles oder gegen den Anfangspunkt der Folge (denn keine andere Zahl in

ℤ

ist irgendwie ausgezeichnet). Da das "Ende" jedoch keine Zahl ist, sondern einfach Divergenz gegen Unendlich bedeutet, bleibt eigentlich nur der Anfang. Und das muss man wieder ganz genau wie in der Definition durchprobieren. Dafür müsste man dann einfach die Umgebungen von

j_{1}

betrachten. Das wäre zumindest meine Vermutung.

Gruß
Sina

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