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körper, vektorraum
Universität / Fachhochschule
Tags: Lineare Algebra
 
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anonymous 19:54 Uhr, 14.05.2005  |
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a) Sei K ein Körper und U ein Unterkörper von K. Beweise, daß K ein Vektorraum über U ist. b) Sei K:=(a+ (b wurzel 2)|a,b element Q]Es ist bekannt, das K ein Unterkörper von R ist. Begründe, daß K ein Q-Vektorraum ist und bestimme dessen Dimension. |
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teil a konnte ich doch selber lösen, war eigenntlich ganz simpel folgt alles daraus, das nen körper auch ne gruppe und ein ring ist, und da u teilmenge von k folgte alles aus bekannten sachen :D. (K,+) ist ein Körper -> eine abelsche Gruppe *u ist Skalarmultiplikation auf K a,b ? K v,w ? U -> v,w ? K damit kann man dann die Eigenschaften von * nachweisen da alles aus K ist und K ist ein komm. Ring bei Teil b steh ich aber noch auf dem Schlauch, wär nett, wenn mir da jemand hilft. |
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anonymous 14:53 Uhr, 16.05.2005 |
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Dann mal eben zu 2): Wir wissen, dass R ein Q-Vektorraum ist, somit folgt die Tatsache, dass K (Teilmenge von R) ein Vektorraum über Q ist, direkt aus 1). Zur Dimension überlegst du dir folgendes: Wie viele Elemente aus K brauchst du, um ganz K aus Linearkombination dieser Elemente mit Skalaren aus Q zu erzeugen? Ich behaupte, man braucht lediglich 1 = 1 + 0 * sqrt(2) aus K und sqrt(2) = 0 + 1 * sqrt(2) aus K um K zu erzeugen. Die Dimension ist also 2. Ich denke, davon kannst du dich ziemlich leicht selbst überzeugen. :) |
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danke für deine hilfe, aber was heißt sqrt(2) bin ganz neu damit, mir online mathenachhilfe zu holen, und bin deswegen mit den zeichen noch nicht wirklich vertraut, mir machen mehrere abkürzungen probleme * heißt doch multiplikation? |
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Hab das jetzt so gemacht: Meine Basis ist B = [1 ; wurzel 2] Dann zeig ich, dass das tatsächlich eine Basis ist: 1. linear unabhängig 2. EZS von K 3. folgere aus der Basis die Dimension |B|= dim K |
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anonymous 17:29 Uhr, 16.05.2005 |
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Jo, genau die Basis meinte ich auch damit. :) 'sqrt(2)' steht für 'squareroot(2)' und das ist die Quadratwurzel aus 2. (Ich würde ja auch gerne den Formeleditor benutzen, aber das hat, so wie es jetzt ist einfach keinen Zweck...) Ich habe 1 und sqrt(2) lediglich so umständlich aufgeschrieben, damit man klar sieht, dass beide auch Element von K sind. Das sollte man auch so machen (zumindest im ersten Semester). Aussagen wie "Das ist doch klar" werden einem da schon mal übel genommen. ;) Du musst aber dann gar nichts mehr großartig zeigen, bis auf die lineare Unabhängigkeit vielleicht. Der Rest ist ja dann wirklich klar, allein durch Definition von K. |
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| danke für die hilfe :D |
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