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kommutativer Ring, Primideal

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Tags: Ring

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Didgeridoo

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21:30 Uhr, 21.11.2011

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Ich soll zeigen: Sei R ein kommutativer Ring mit Eins s.d. für jedes echte Ideal I folgt, dass I ein Primideal ist.
Nun soll ich zeigen, dass R ein Körper ist.
Ich hab' als Tipp gegeben, dass ich zuerst zeigen sol, dass R ein Integritätsbereich ist. Da <0> ein Primideal gemäss Voraussetzung, gilt dies. Aber wie hilft mir das weiter?
Ich hab' gesehen, dass wir einen Satz hatten, der besagt: Falls <0> ein maximales Ideal, dann ist R ein Körper. Aber ich brings nicht fertig, das zu zeigen.
Ich sollte ja zeigen:

\forall J

mit

< 0 > \subseteq J

folgt:

J = < 0 >

oder

J = R

...
Angenommen

J \neq R

, dann ist J ja ein echtes Ideal in R, aber wieso muss es dann das Nullideal sein?
Wäre froh um eure Hilfe. Vielen Dank!

Online-Nachhilfe in Mathematik

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hagman

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22:05 Uhr, 21.11.2011

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Für

a \in R

betrachte

I := a^{2} R

.
Da

I

primideal ist und

a \cdot a \in I

folgt

a \in I,

also

a = a^{2} \cdot r

für ein

r \in R

.
Somit

a \cdot (a r - 1) = 0

.
Das heIsst: Falls

a \neq 0,

folgt

a r = 1

Didgeridoo

Didgeridoo aktiv_icon

22:40 Uhr, 21.11.2011

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Danke vielmals. Ich verstehe alles, bis auf die Idee, dass

I := a^{2} R

Wieso weiss ich denn, dass jedes Ideal in R ein Hauptideal ist?

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hagman

hagman aktiv_icon

22:43 Uhr, 21.11.2011

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Das habe ich ja nicht behauptet. Es ist ja nicht

I

ein beliebiges Ideal, sondern ein mittels des beliebigen Ringelementes

a

konstruiertes Ideal.

Didgeridoo

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22:55 Uhr, 21.11.2011

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Hmm... sorry, dass ich so blöd frage. Aber ich verstehe es immer noch nicht ganz:

< A > := {r_{1} a_{1} + . . . r_{n} a_{n} ∣ r_{i} \in R, a_{i} \in A}

ist ja das Ideal das von A erzeugt ist, oder nicht? D.h. eine Linearkombination von Elementen aus A. Unser Ideal sieht ja so aus: I:=

a^{2} R = {a^{2} r ∣ r \in R}

, wobei a eine fixes Element ist, keine Menge, oder? Dann ist es doch ein Hauptideal, denn wir haben ein Hauptideal so definiert:

I := {b r ∣ r \in R}

Wenn a beliebig ist, dann müsste doch R zumindest ein Hauptidealbereich sein?!
Entschuldigung, falls ich etwas schwer von Begriff bin...

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hagman

hagman aktiv_icon

23:02 Uhr, 21.11.2011

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Egal, wie mein Ring

R

aussieht, zu jedem Element von

R

kann man das zugehörige Hauptideal betrachten. Dass es daneben noch weitere Ideale gibt, stört nicht.

Frage beantwortet

Didgeridoo

Didgeridoo aktiv_icon

23:07 Uhr, 21.11.2011

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Ach, so!! Jetzt hab' ichs kappiert! :-D) Danke vielmals!

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