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komplex konjugierte Zahl

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Komplexe Zahlen

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moko23

moko23 aktiv_icon

16:54 Uhr, 02.08.2012

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Zeigen Sie, daß jede komplexe Zahl

w = (1

− it)/(1+it),

t

∈

R

beliebig, den Betrag

| w | = 1

hat.

Habe es mit vollständiger Induktion und ausmultiplizieren versucht

{(w^{2})}^{\frac{1}{2}} . .

.
leider kam ich auf keine sinnvolle Lösung...
vielleicht geometrische begründung?

für tipps zur Lösung bin ich sehr dankbar.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Online-Nachhilfe in Mathematik

Antwort

Mathematica

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17:01 Uhr, 02.08.2012

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Hallo,
Ich würde deine komplexe Zahl auf die kartecihe Form bringen.

\frac{1 - i t}{1 + i t} = \frac{(1 - i t) (1 - i t)}{(1 + i t) (1 - i t)}

. Im nenner binomische Formel anwenden:.. Und dann den Zähler vereinfachen. Zeige dann noch mal dein Ergebnis.

mfG M.

moko23

moko23 aktiv_icon

17:28 Uhr, 02.08.2012

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\frac{(1 - i t) (1 - i t)}{(1 + i t) (1 - i t)}

=

\frac{(1 - i t)^{2}}{(1 - i^{2} t^{2})}

=

\frac{(1 - i t)^{2}}{(1 + t^{2})}

=

\frac{(1 - 2 i t + i^{2} t^{2})}{(1 + t^{2})}

=

\frac{(1 - 2 i t - t^{2})}{(1 + t^{2})}

leider komm ich hier nicht weiter.. danke

Antwort

Mathematica

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17:41 Uhr, 02.08.2012

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Hallo,
Nun kannst du alles einzelne summanden aus der Summe im Zähler druch den nenner diviedieren oder mit anderen worten: benutze

\frac{a + b + c}{x} = \frac{a}{x} + \frac{b}{x} + \frac{c}{x}

. Dann bestimme Re(z) und Im(z).

mfG M.

Frage beantwortet

moko23

moko23 aktiv_icon

19:20 Uhr, 02.08.2012

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Re(z) = (

\frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}}

)
Im(z) = (

\frac{- 2 t}{1 + t^{2}}

)

===========================================
allgemeine regel für komplexe Zahlen:
z = x+yi
Betrag von z := (x^2+ y^2)^(

\frac{1}{2}

)

===========================================

w = ((

\frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}}

)^2 + (

\frac{- 2 t}{1 + t^{2}}

)^2)^(

\frac{1}{2}

)

w = ((

\frac{1 - 2 t^{2} + t^{4}}{(1 + t^{2})^{2}}

) + (

\frac{4 t^{2}}{(1 + t^{2})^{2}}

))^(

\frac{1}{2}

)

w = (

\frac{1 + 2 t^{2} + t^{4}}{(1 + t^{2})^{2}}

)^

\frac{1}{2}

w = 1

vielen vielen dank für die schnelle Hilfe und die guten Tipps.

Mfg Mo

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