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komplexe Lösung einer Gleichung bestimmen

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen

Mathematikus20 aktiv_icon

12:00 Uhr, 16.07.2010

Hallo, ich hoffe ihr könnt mir bei folgender Aufgabe helfen:

Berechnen Sie alle (komplexen) Lösungen der Gleichung:

$(- 1 + 2 j) z^{3} + 18 - 36 j = 45 - 90 j$

in der Form z=a+bj.

ich habe die Gleichung nach z umgestellt und erhalte:

$z = \sqrt[3]{- 27}$

Ich würde zunächst gerne wissen, ob das soweit richtig ist und wenn ja, wie ich weiter fortfahren muss.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Meckmeckmeck

13:04 Uhr, 16.07.2010

>...wie ich weiter fortfahren muss.

Da i²=-1 ist, kannst du die Wurzel ja als i²*27 schreiben...

Edddi aktiv_icon

13:10 Uhr, 16.07.2010

Probe zeigt Richtigkeit

weiter geht's dann so:

z^{3} = - 27

z^{3} = 27 \cdot - 1

z = 3 \cdot \sqrt[3]{- 1}

...Bestimmung der Einheitwurzeln über Euler (kann man im Kopf, da gleichs. Dreieck)

;-)

Mathematikus20 aktiv_icon

13:10 Uhr, 16.07.2010

also käme als ergebnis dann 3i² heraus und das wäre dann auch das endergebnis?

da steht jedoch dass ich das Ergebnis in der Form z=a+bj schreiben muss.

Edddi aktiv_icon

13:51 Uhr, 16.07.2010

...du hast doch hier gar keine Quadratwurzel!!!!!

Wie gesagt, löse über Einheitswurzeln am Einheitskreis auf der kompl. ZE!!

Die Lösungen aller Einheitswurzeln liegen auf den Eckpunktes eines dem komplexen Einheitskreis einbechriebnenen regelmäßigen n-Ecks.

(Oder rechnerisch, und dann nur 360° in 3 Teile, das sollte doch gehen)

Also: komplexe Ebene - schönen Einheitskreis vorstellen - regelm 3-Eck = gleichs. Dreieck einbeschreieben - gucken wo Eckpunkte sind.

Einer ist natürlich bei

(- 1) -

die anderen bei

(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot i)

und

(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot i)

Auf Grund der regelm n-Ecke sind die Lösungen auch immer so schön konjugiert komplex!

Oder eben rechenerisch die Einheitswurzeln:

Die Eckpunkte liegen bei 60°

= \frac{π}{3},

180°

= π

und 270°

= \frac{5}{3} \cdot π

Die komplexen Lösungen lassen sich dann so darstellen:

z_{1} = cos (\frac{π}{3}) + i \cdot sin (\frac{π}{3}) = \frac{1}{2} + i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}

z_{2} = cos (π) + i \cdot sin (π) = - 1 + i \cdot 0

z_{3} = cos (\frac{5}{3} \cdot π) + i \cdot sin (\frac{5}{3} \cdot π) = \frac{1}{2} - i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}

;-)

Mathematikus20 aktiv_icon

13:55 Uhr, 16.07.2010

ach weil da die 3. Wurzel ist muss ich also mir ein Dreieck im Einheitskreis vorstellen?

Und die 3 Lösungen die du am ende geschrieben hast sind die Lösungen der Aufgabe?

Edddi aktiv_icon

14:20 Uhr, 16.07.2010

nicht direkt!

Es sind die Einheitswurzel, also die Lösungen von

\sqrt[3]{- 1}

Deine Aufgabe war ja:

z^{3} = - 27

z = \sqrt[3]{- 27}

z = \sqrt[3]{- 1 \cdot 27}

z = \sqrt[3]{- 1} \cdot \sqrt[3]{27}

z = \sqrt[3]{- 1} \cdot 3

...du musst jetzt also die 3 Lösungen noch jeweils mit 3 multiplizieren!!!

;-)

Mathematikus20 aktiv_icon

21:32 Uhr, 16.07.2010

Eine Frage aus Interesse. Wo wären die Eckpunkte bei einem Viereck und Fünfeck?

pleindespoir aktiv_icon

02:46 Uhr, 17.07.2010

(- 1 + 2 j) z^{3} + 18 - 36 j = 45 - 90 j ∣ - 18 + 36 j

(- 1 + 2 j) z^{3} = 45 - 18 - 90 j + 36 j

(- 1 + 2 j) z^{3} = 27 - 54 j

(- 1 + 2 j) z^{3} = - 27 (- 1 + 2 j) ∣ / (- 1 + 2 j)

z^{3} = - 27

z^{3} = 27 \cdot e^{j π}

z =^{3} \sqrt{27 \cdot e^{j π}}

z =^{3} \sqrt{27} \cdot^{3} \sqrt{e^{j π}}

z = 3 \cdot^{3} \sqrt{e^{j π}}

z_{1} = 3 \cdot e^{j \frac{π}{3}}

z_{2} = 3 \cdot e^{j (\frac{π}{3} + \frac{2 π}{3})}

z_{2} = 3 \cdot e^{j π}

z_{3} = 3 \cdot e^{j (\frac{π}{3} + \frac{4 π}{3})}

z_{3} = 3 \cdot e^{j (\frac{5 π}{3})}

z_{1} = 3 \cdot (c o s (\frac{π}{3}) + j \cdot s i n (\frac{π}{3})

z_{1} = 3 \cdot (\frac{1}{2} + j \cdot \frac{1}{2} \sqrt{3})

z_{2} = - 3 [+ j \cdot 0]

z_{3} = 3 \cdot (c o s (\frac{5 π}{3}) + j \cdot s i n (\frac{5 π}{3}))

z_{3} = 3 \cdot (\frac{1}{2} - j \cdot \frac{1}{2} \sqrt{3})

Mathematikus20 aktiv_icon

10:39 Uhr, 17.07.2010

Danke

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