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komplexe Menge skizzieren

Schüler

Tags: Komplexe Mengen, Komplexe Zahlen

Peter857 aktiv_icon

18:27 Uhr, 18.11.2017

Hallo,

ich muss die Menge aller z=x+iy mit

| \frac{z - 2}{z - i} | \geq 1

bestimmen und skizzieren.

Zuerst habe ich den Nenner auf die andere Seite gezogen, die Beträge aufgelöst und vereinfacht. Dann habe ich

z

durch x+iy ersetzt.

Dann habe ich nach

y^{2}

umgestellt. Mein Ergebnis lautet:

y^{2} \geq - x^{2} + 4 x + 1

Wenn ich diese Ungleichung einzeichne erhalte ich einen Kreis.

Zu meiner Frage: Ist meine Vorgehensweise richtig und ist es richtig, dass ich nach

y^{2}

umgestellt habe?

Die Menge müssten dann ja alle Punkte außerhalb des Kreises sein oder?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

rundblick aktiv_icon

19:19 Uhr, 18.11.2017

.
"Mein Ergebnis lautet:

y^{2} \geq - x^{2} + 4 x + 1

..."

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .

. das ist leider falsch !

überlege mal mit:

| \frac{z - 2}{z - i} | \geq 1

das kannst du auch so schreiben

\Rightarrow

| z - 2 | \geq | z - i |

und nun schau dir zuerst nur mal die Punktmenge an, für die das " = " gilt:

| z - 2 | = | z - i |

das kannst du als altbekanntes elementargeometrisches Problemchen lesen:

\to

wo liegen alle Punkte der (Gauss-) Ebene, die vom Punkt

z_{1} = 2

gleich weit
entfernt sind wie vom Punkt

z_{2} = i

ich hoffe, dass du diese Ortslinie kennst.

diese Ortslinie zerlegt die Ebene in zwei Halbebenen
es bleibt dir also noch die einfache Aufgabe, herauszufinden, in welcher dieser
Halbebenen alle Punkte liegen, für die gilt

\to | z - 2 | > | z - i |

(Tipp: es genügt, irgend einen Punkt der Ebene zu testen)
fertig:
(und wie heisst denn nun der Antwortsatz zu deiner Aufgabe ?)

.

Peter857 aktiv_icon

20:35 Uhr, 18.11.2017

Danke schon mal für die Erklärung. Leider stehe ich gerade auf dem Schlauch und weis nicht, wie ich die Ortslinie berechnen kann.

rundblick aktiv_icon

20:43 Uhr, 18.11.2017

.
" weis nicht, wie ich die Ortslinie berechnen kann."

du sollst ja vorerst gar nichts berechnen - sondern dir überlegen:

\to

WO LIEGEN IN EINER EBENE ALLE PUNKTE, DIE VON ZWEI FESTEN PUNKTEN GLEICH WEIT ENTFERNT SIND?

\to

Antwort

\to ...

. ?

nebenbei: mach dir eine Zeichnung zB:

z_{1} = (2; 0) .

z_{2} = (0; 1)

und:
falls du unbedingt auch noch rechnen willst - machen wir nachher.
(es ist zur Lösung deiner Aufgabe aber gar nicht nötig)

.

Peter857 aktiv_icon

20:48 Uhr, 18.11.2017

Naja, alle Punkte, die gleich weit entfernt von zwei festen Punkten liegen, liegen auf einer Geraden, zwischen den beiden Punkten.

rundblick aktiv_icon

20:53 Uhr, 18.11.2017

.
Naja !

\to

schon mal was von "Mittelsenkrechte" gehört? (notfalls

\to

nachschlagen

!)

mach dir nun die erwähnte Zeichnung mit den beiden oben genannten Punkten im Koordinatensystem
schau dir doch mal deinen eigenen Titel hier an

\to

"komplexe Menge skizzieren"
da steht nichts von berechnen (Tipp: "skizzieren bedeutet: zeichnen

! -

ok? )

und:falls du das unbedingt willst:
->da kannst du aus der Zeichnung die Gleichung der Mittelsenkrechten gerade "ablesen"

\to

...

.

.

Peter857 aktiv_icon

21:31 Uhr, 18.11.2017

Ja, das ist klar, die Mittelsenkrechte teilt die Ebene in 2 Teile und die Menge müssten alle Punkte sein, die näher am Punkt

Z 2 = i

liegen.

Jedoch muss ich die Menge auch formal bestimmen, weswegen ich verwirrt bin. :-D)

rundblick aktiv_icon

21:54 Uhr, 18.11.2017

.
" Ja, das ist klar, die Mittelsenkrechte teilt die Ebene in 2 Teile "

\to

und diese Mittelsenkrechte

m

geht durch den Mittelpunkt

(1; \frac{1}{2})

der Strecke

\bar{z_{1} z_{2}}

und ist zu dieser Strecke senkrecht (hat also die Steigung

m = 2)

\Rightarrow

Gleichung von

m : \to y - \frac{1}{2} = 2 \cdot (x - 1) . .

. oder eben

\to y = 2 x - 1,5

"müssten alle Punkte sein, die näher am Punkt

z_{2} = i

liegen."

du meinst es sicher so: alle Punkte

z \in ℂ,

die die Ungleichung

| z - 2 | > | z - i |

erfüllen,
liegen in der Halbebene

H,

in der auch der Punkt

z_{2} = i = (0; 1)

liegt.

also: die Lösungsmenge von

| z - 2 | \geq | z - i |

kannst du nur bunt anmalen:
alle Punkte auf

m

und dazu alle Punkte in

H,

dh, die ganze Halbebene

H

ok?

und zu deiner Beruhigung :

| z - 2 | = | z - i |

\Rightarrow

| (x - 2) + i \cdot y | = | x + i \cdot (y - 1) |

\Rightarrow

x^{2} - 4 \cdot x + 4 + y^{2} = x^{2} + y^{2} - 2 \cdot y + 1

. .

. .

\Rightarrow y = 2 x - 1,5

kurz zusammengefasst:
die Lösungsmenge deiner Ungleichung enthält alle Punkte z=x+iy

= (x; y) \in ℂ

für die gilt

\to y \geq 2 x - 1,5

fertig.
.

Peter857 aktiv_icon

13:08 Uhr, 19.11.2017

Okay, das habe ich verstanden, ist ja nicht so schwer, wenn man es einmal durchschaut hat.

Könntest du einmal schauen, ob ich das Prinzip bei dieser Aufgabe auch richtig anwende?:

| z | =

Re(z) - |Im(z)|

Ich habe hier keine Ungleichung, also muss die Lösungsmenge eine Gerade sein, auf der alle Punkte der Menge liegen. Ich habe die Gleichung umgestellt und bin auf

: y = 0

gekommen. Also müsste die Lösungsmenge alle Punkte sein, bei denen der Im(z)=0 ist oder?

rundblick aktiv_icon

15:23 Uhr, 19.11.2017

| z | =

Re(z) - |Im(z)|

... ... . .

. ?

\to

sieht die Aufgabe wirklich genau so aus ?

"Ich habe hier keine Ungleichung, also muss die Lösungsmenge eine Gerade sein,"

hm?! .. witziger Schluss ..

".. bin auf

: y = 0

gekommen.
Also müsste die Lösungsmenge alle Punkte sein, bei denen der Im(z)=0 ist oder?"

\to

kannst du der Geraden

y = 0

einen Namen geben?
(es ist eine besondere Gerade in der GaussEbene)

\to

und dann beginne halt mal zu denken

. .

.
zB: wie sieht dann deine Gleichung aus, wenn du dort für Im(z)=0 einsetzt?
und: was weisst du über den Betrag irgendeiner Zahl

z

?
und: was fällt dir ein, wenn du etwas über mögliche Vorzeichen von Re(z) sagen sollst?

also - wie ist das nun mit deiner Lösungsmenge ?

-

Peter857 aktiv_icon

15:46 Uhr, 19.11.2017

Naja, die Gleichung

y = 0

ist die reelle Achse in der Ebene.

Wenn ich in meiner Gleichung Im(z) 0 setze, bleibt doch nur der Realteil.

Der Betrag einer Zahl:

| a | =

Wurzel(a^2)

Da ich für den Realteil alle reellen Zahlen einsetzen kann, müssten beide Vorzeichen möglich sein.

Peter857 aktiv_icon

16:07 Uhr, 19.11.2017

Aber mir ist noch aufgefallen, dass Im(z) auch negativ sein kann, damit die Gleichung erfüllt ist

ledum aktiv_icon

16:33 Uhr, 19.11.2017

Hallo
das ist nicht falsch, aber zu ungenau. Auf welcher geraden, wenn du grade blockiert bist zeichne !
Gruß ledum.

Lawliet aktiv_icon

16:46 Uhr, 19.11.2017

Kann jemand von euch mir vllt erstmal beantworten, ob ich das richtig sehe mit Re(z)

= x

(für

z = x +

iy) und Im(z) = iy bzw |Im(z)|=

\sqrt{}

(iy)^2?

rundblick aktiv_icon

17:03 Uhr, 19.11.2017

.
"ob ich das richtig sehe

z = x +

iy) und Im(z) = iy "

... ... ... ... ...

. NEIN

! -

was hast du für eine Brille?

\to

es sollte sich herumgesprochen haben, dass der Imaginärteil einer komplexen Zahl

\to

EINE REIN REELLE ZAHL ist - DA IST NIX MIT

\to i!!!

\to

und vergiss den Schwachsinn

\to

"bzw |Im(z)|= (iy)^2? " ..

\to

es ist |Im(z)|

= | y |

kurz

: z = x + i \cdot y \Rightarrow

Im(z)

= y ...

. mit

y \in ℝ

merke: komplexe Zahlen sind geordnete Paare REELLER Zahlen

\to z = (x; y)

rundblick aktiv_icon

17:33 Uhr, 19.11.2017

| z | =

Re(z) - |Im(z)|

@ Peter:

"Wenn ich in meiner Gleichung Im(z) 0 setze, bleibt doch nur der Realteil."

... ... ... . .

\to

\Rightarrow | z | =

Re(z)

"Der Betrag einer Zahl:

| a | =

Wurzel(a^2)"

... ... ... ... ... .

. NEIN !

"Da ich für den Realteil alle reellen Zahlen einsetzen kann,
müssten beide Vorzeichen möglich sein."

... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

. NEIN

| z | =

Re(z)

\to

BETRÄGE sind POSITIVE reelle Zahlen (hier also

: | z | \geq 0)

\to

und jetzt beginne nachzudenken über

\to | z | =

Re(z)

und dazu:
" Aber mir ist noch aufgefallen, dass Im(z) auch negativ sein kann,
damit die Gleichung erfüllt ist"

beliebst du Witze zu machen ?

\to

du hast doch herausgefunden dass

\to

Im(z)

= 0

na ja .. wenn du willst also

\to

Im(z)

= - 0

und negativer geht nicht..

.

Peter857 aktiv_icon

18:24 Uhr, 19.11.2017

Ich bin zu dem Schluss gekommen, dass der Realteil nur aus positiven reellen Zahlen bestehen darf, da der

| z |

nur aus

x

besteht, da

y = 0

und das Vorzeichnen vom Betrag immer positiv ist.

soweit ein wenig richtig? :-D)

rundblick aktiv_icon

19:43 Uhr, 19.11.2017

.
"Ich bin zu dem Schluss gekommen, dass

. .

. das Vorzeichnen vom Betrag immer positiv ist."

... ... ...

. super

! \to

und damit bist du voll auf der Erfolgsspur :

wenn gelten soll

\to | z | =

Re(z)

also wenn

| x + i y | = x \to

dann sollte

y = 0

und

x \geq 0

sein
und all diese Punkte

(x; y)

liegen auf der positiven reellen Achse
(dh auf einer Halbgeraden in der GaussEbene)

.

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