Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » komplexe Polynome multiplizieren

komplexe Polynome multiplizieren

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Koeffizient, Komplexe Nullstellen, Komplexe Zahlen

nilpferd3 aktiv_icon

15:44 Uhr, 26.11.2014

Hi,
auf meinem aktuellen Ü-Blatt soll ich eine Aufgabe lösen, die mir überhaupt nicht klar ist:

Es seien folgende Polynomfunktionen gegeben:

P : C \to C P (x) = x^{2} - 2 x + 1

Q : C \to C Q (x) = x^{3} - i x^{2} - x + i

a .)

Berechnen Sie den Grad des Polynoms

R = P Q^{2}

und geben Sie den Koeffizienten der höchsten Potenz an.

b .)

Bestimmen Sie die Koeffizienten cj für

0 < j < 10

so, dass gilt:

(P + Q) (x) = \sum j = 0

bis

10

{(x - 1)}^{j}

für alle

x \in ℂ

c .)

Bestimmen Sie alle Nullstellen mitsamt Vielfachheiten der Polynome

P, Q

und R.

zu

a :

soll man das einfach stur ausmultiplizieren?

zu

b :

P

und

Q

summieren? aber was soll mit dieser Summe auf der rechten Seite geschehen?

zu

c :

Nullstellen bei

P

finde ich so eine:

x = 1

also

1 + 0 b

es müsste aber auch noch iene zweite geben?

Nullstellen bei

Q

kann ich auch eine raten: auch 1.

Wie mache ich bei

P

und

Q

weiter und was mache ich mit

R

dann?

Grüße nilpferd

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

16:36 Uhr, 26.11.2014

"zu a:
soll man das einfach stur ausmultiplizieren?"

Ja.

"zu b:
P und Q summieren? aber was soll mit dieser Summe auf der rechten Seite geschehen?"

Ich verstehe leider nicht, was rechts steht.

"zu c:
Nullstellen bei P finde ich so eine: x=1 also 1+0b
es müsste aber auch noch iene zweite geben?"

Nein, es ist eine doppelte Nullstelle, denn

x^{2} - 2 x + 1 = (x - 1)^{2}

.

"Nullstellen bei Q kann ich auch eine raten: auch 1."

Dann kannst Du durch

x - 1

teilen und das Ergebnis ist dann ein quadratisches Polynom, für seine Nullstellen gibt's p-q-Formel.

nilpferd3 aktiv_icon

21:41 Uhr, 26.11.2014

Danke für die Antwort,

also bei a komme ich auf sowas hier:

(x^{2} - 2 x + 1) (x^{6} - 2 i x^{5} - 3 x^{4} - x^{2} +

2ix

- 1)

wenn ich das jetzt ausmultipliziere dann wirds unübersichtlich,
letztendlich hab ich dann Teile darin die so aussehen:

... .

- 2 i x^{7} - 2 x^{7} . .

.
, ähnlich siehts bei jeder anderen Potenz aus die größte Potenz die ich bekomme ist 8
aber wie ermittel ich jetzt diesen Koeffizienten?

b .)

der rechte Teil ist eine Summe mit index

j,

der geht von 0 bis

10

.
Hilft dir das weiter?

c .)

ok für das Polynom mit grad drei bekomm ich das hin, aber was mach ich mit diesem Riesenpolynom? und was hat es mit diesen "Vielfachheiten" auf sich?
Bzw. bringt mir das irgendwas, wenn ich die Nullstellen der ersten beiden Polynome kenne?
das Riesenpolynom ist ja eigentlich nur ein Produkt davon.

DrBoogie aktiv_icon

22:00 Uhr, 26.11.2014

"wenn ich das jetzt ausmultipliziere dann wirds unübersichtlich"

Nein, unübersichtlich wird es nicht, aber es ist viel Arbeit, welche nicht gefordert wird. Gefragt ist doch nach dem höchsten Koeffizienten, und dieser ist offensichtlich

1

.
Denn Du hast Recht, die höchste Potenz ist

x^{8}

und sie kann beim Ausmultiplizieren nur einmal zustande kommen, wenn

x^{2}

mit

x^{6}

multipliziert wird. Sonst kommen nur Terme zusammen, deren Summe der Potenzen

< 8

ist.

"b.) der rechte Teil ist eine Summe mit index j, der geht von 0 bis 10.
Hilft dir das weiter?"

Ich verstehe die Aufgabe nicht wirklich, besonders warum da

10

steht.

P + Q

hat Grad

3

, also sind

c_{j} = 0

für

j > 3

. Restliche

c_{j}

kann man entweder durch Koeffizientenvergleich berechnen oder durch das Taylorpolynom der 3. Ordnung im Punkt

1

.

"Bzw. bringt mir das irgendwas, wenn ich die Nullstellen der ersten beiden Polynome kenne?
das Riesenpolynom ist ja eigentlich nur ein Produkt davon."

Natürlich sind alle Nullstellen von

R = P Q^{2}

Nullstellen von

P

oder Nullstellen von

Q

.
Es ist echt komisch, wie viele Leute nicht wissen, dass

a b = 0 = > a = 0

oder

b = 0

(in einem Körper, aber reelle und komplexe Zahlen bilden Körper).

DrBoogie aktiv_icon

22:03 Uhr, 26.11.2014

"und was hat es mit diesen "Vielfachheiten" auf sich? "

Was denn kann damit sein? Vielfachheit - wie oft

(x - a)

in der Zerlegung des Polynoms in lineare Faktoren vorkommt, bzw. mit welcher Potenz. Die Vielfachheit der Nullstelle

1

im Polynom

(x - 1)^{2} (x - 2)

ist z.B.

2

nilpferd3 aktiv_icon

22:10 Uhr, 26.11.2014

ok, danke.
noch mal zu

b .)

kann es ein, dass einfach die Koeffizienten in der Summe ab index

j = 4

einfach 0 zu setzen sind? jeder Summand im Polynom mit Potenz

\geq 4

fliegt dann einfach raus. So würde das zumindest Sinn machen.

DrBoogie aktiv_icon

22:25 Uhr, 26.11.2014

Kann sein.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1201540

1201469

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?