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komplexe Zahlen: ln(i); ln(...)
Universität / Fachhochschule
Tags: Übriges
 
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anonymous 15:42 Uhr, 18.01.2007  |
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Hi ich hab momentan riesen Probleme beim Verständnis der e und logarithmus Funktionen im Zusammenhang mit komplexen Zahlen. dass ln(i) = i(PI/2+2kPI) ist, glaube ich mittlerweile, aber ich komme bei unten stehender Aufgabe nicht weiter. Ich kenne zwar das Ergebnis, aber ich weiß nicht wie ich darauf komme. Wäre super, wenn mir da wer helfen kann. Mir reichen auch links, dann lese ich mich selbst etwas ein. Ergebnis der unten stehenden Aufgabe: Z=i(5,63968+2kPI) |
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Hallo Simone wie du sicher schon festgestellt hast, liegt x auf dem dem Einheitskreis. Es gilt also: x = eit Wobei t der Winkel zur reellen Achse ist (Darum diese n*2pi, die immer noch berücksichtigt werden sollten). Nun ziehen wir einfach auf beiden Seiten den Logarithmus: ln(x) = it (ln(.) ist ja die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion) Wir müssen also nur das t bestimmen, also den Winkel (in der Gaussschen Zahlenebene) Nun wissen wir aber, dass der Sinus den Wert -3/5 hat, und der Cosinus den Wert 4/5. Auf dem Taschenrechner ergibt sich: arccos(4/5) = 0.64350110879328438680280922871732 Da z aber im 4. Quadranten liegt, ist nicht dieser Wert zu nehmen, sondern das Negative davon: -0.64350110879328438680280922871732 Wenn du dazu noch 2*pi addierst (um einen positiven Anfangswert zu erhalten), bekommst du gerade 5.6396841983863020901224775378417 Alles klar? Gruss Paul |
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anonymous 20:20 Uhr, 22.01.2007 |
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Alles klar, Dankeschön, Simone |
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