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komplexe zahl potenzieren

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Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen, Potenz

anonymous

16:04 Uhr, 21.02.2016

ich hab

z = \frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}

und muss

z^{31}

bestimmen und es als kartesische koordinaten angeben, also so wie z.

ich weiss:

z = x + y * i = r (c o s (φ) + s i n (φ) * i) = r e^{i * φ}

t a n (φ) = \frac{y}{x}

ich hab mir eigentlich alles was man zu den komplexen zaheln wissen muss erarbeitet.

z^{n} = r (c o s (φ) + s i n (φ) * i)^{n} = r (c o s (φ * n) + s i n (φ * n) * i)

ich muss kartesische form in polar umwandeln. das krieg ich nicht hin, glaub ich.

es gibt ja die tolle wertetabelle, in der steht, welcher wert welchem cosinus und sinus entspricht, das kommt auf die formelsammlung, alles merken schaff ich nicht :-D) aber ich mach jetzt einfach mal.

z ist an der Position

(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})

im koordinatensystem, ersten quadrant, schön und gut. logischerweise, ist phi 60°, denn cosinus von wurzel3 halbe ist 60°. aber was hab ich davon, zu wissen, dass das 60° ist? nix -.-

r = ∣ z ∣ = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{{\frac{1}{2}}^{2} + {\frac{\sqrt{3}}{2}}^{2}} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{2 \sqrt{3}}{4}} = \sqrt{\frac{2 \sqrt{3} + 1}{4}}

was hab ich davon? (falls es richtig ist)

z^{31} = r (c o s (60 ° * 31) + s i n (60 ° * 31) * i)

mein ziel ist es doch irgendwie diese potenz 31 in mein z einzurechnen und dann als neues z anzugeben, richtig? wie geht das? hilfe :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

16:25 Uhr, 21.02.2016

hallo

r^{2} = {(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1!

wie du

\sqrt{3}

quadrierst ist ein einsames Rätsel
damit ist die 31ste Wurzel aus

r

sehr einfach!, und du musst nur noch

31 \cdot φ

berechnen und vielfache von

2 π

abziehen,
Gruß ledum

Roman-22

18:31 Uhr, 21.02.2016

> z

ist an der Position

(12,32)

im koordinatensystem
Nun, es mag für die Vorstellung nützlich sein, die Darstellung in der Gauß-Ebene als Punkte in einem "Koordinatensystem" zu interpretieren. Man sollte sich aber trotzdem bewusst sein, dass es formal kein Koordinatensystem ist und Real- und Imaginärteil daher auch keine Koordinaten sind.

Dir scheint entgangen zu sein, dass der Realteil von

z

negativ ist. Daher

φ = - 60^{\circ}

oder

φ = 300^{\circ}

.

Deine wirklich sehr kreative Art,

| z |

zu berechnen, hat ledum ja schon korrigiert.

>

z^31=r(cos(60°*31)+sin(60°*31)*i)
Nicht ganz. Abgesehen von der falschen Phase

φ

sollte hier auch

r^{31}

stehen (ledum hat hier irrtümlich von der

31

. Wurzel geschrieben).
Da dank ledum nun aber

| z | = 1

ist, sollte das kein Problem darstellen

>

mein ziel ist es doch irgendwie diese potenz

31

in mein

z

einzurechnen
hast du doch schon mit deinen

60^{\circ} \cdot 31,

auch wenns eben

- 60^{\circ}

sein sollten.
Überleg dir nun, welche Lage der Zeiger mit der Phase

- 60^{\circ} \cdot 6

hat. Und welche jener mit

- 60^{\circ} \cdot 12,

und dann jener mit

- 60^{\circ} \cdot 30

. Dann wirst du auch sehen, wo du mit

- 60^{\circ} \cdot 31

landest.

Sei also nicht allzu überrascht, wenn du für

z^{31}

eine Zahl rausbekommst, du du vor kurzem schon einmal gesehen hast ;-)

R

anonymous

18:44 Uhr, 21.02.2016

manchmal, ehrlich, zweifel ich selbst an mir ... wieso ich eigentlich noch mal mathe studiere -.-
aber das hat nichs damit zu tun, sondern, dass ich einfach nicht aufpasse
ich lass das mal so im raum stehen :-D)

ich noch n fehler. ich hab ein minus übersehen. meine position ist im 3 quadranten. -.-

ich brauch manchmal einfach so lange, um so kleine sachen zu verstehen, das demotiviert manchmal. aber ich geb nicht auf, deswegen. von vorn und kleinschrittig. ich hab eine komplexe zahl. wenn ich diese potenzieren will, muss ich nach

z^{n} = (r e^{i φ})^{n}

, welches =

r^{n} e^{i * n * φ}

umschreiben. das ist ja die eulersche darstellung.
frage 1) brauch ich hier überhaupt die polare darstellung?

ich habe

z = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i

. diese zahl befindet sich im 3 quadranten. brauch ich diese information? -> ja um den winkel zu bestimmen. aber
frage 2) der winkel wird doch schon durch den negativen Imaginärteil deutlich? diese komplexe zahl hat den winkel phi = 300°, also 5*pi/3, welches wie gesagt durch die komplexe zahl deutlich wird, also brauch cih eigentlich gar nicht zu wissen, wo sie liegt, denn im komplexen ausdruck steht ja alles was ich brauche.

jetzt muss ich die potenz "berechnen"?
ich nehme von oben die formel, weil es im kartesischen ja beudeuten würde, dass ich 31 mal die klammern miteinander ausmultiplizieren müsste, logisch. hier kommt Moivre.

z = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i

und

z^{31} = (\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i)^{31}

z^{n} = r^{n} * e^{i * n * φ}

r muss ich vorher bestimmen, r = 1. ich hab mich da vorhin ein bisschen (sehr) doof angestellt.
frage 3) phi muss ich bestimmen. phi = die position der komplexen zahl (

\frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{5 π}{3} = 300 °

nun kann ich einsetzen.

z^{31} = 1^{31} * e^{i * 31 * \frac{5 π}{3}}

jetzt zu dem was du zu mir sagtest. die vielfache von 2pi abziehen. kapier ich nicht :-)

edit: @roman. deine nachricht sehe ich erst jezt. ich arbeite mich mal durch.

anonymous

19:01 Uhr, 21.02.2016

@roman

ich lande bei z=1+0i ?
ich hab das genau so gemacht, wie du sagtest (was dem verständniss eines anfängers umgmein hilft).
mit vielfaches von ledum war gemeint, wie oft der winkel phi, oder von mir aus auch, phi' für die 360° benötigt und dann kann ich die 31 ganz leicht erkennen. logischerweise, geht es hier ja immer um die positionen. und da ich das kartesisch darstellen muss, wäre doch z=1 meine lösung. oder? oder ist mit z^{31} bestimmen was anderes gemeint als, es in kartesischer form anzugeben.

Roman-22

19:51 Uhr, 21.02.2016

>

ich lande bei

z = 1 + 0 i

?
Nein, das ist falsch. Jedenfalls für

z^{31}

. Für

z^{30}

wäre es allerdings das richtige Ergebnis ;-)

>

mit vielfaches von ledum war gemeint, wie oft der winkel

φ,

oder von mir aus auch,

φ'

für die 360° benötigt und dann kann ich die

31

ganz leicht erkennen.
Hmmm, was genau möchtest du damit jetzt sagen?

>

logischerweise, geht es hier ja immer um die positionen. und da ich das kartesisch darstellen muss, wäre doch

z = 1

meine lösung. oder?
Nein, aber ich weiß auch nicht, wie du drauf kommst.

>

oder ist mit

z^{31}

bestimmen was anderes gemeint als, es in kartesischer form anzugeben.
Nein, da ist schon das gemeint, aber

{(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2})}^{31} \neq 1

.

Welchen Winkel hast du denn als einfachere Alternative für

- 60^{\circ} \cdot 31

oder von mir aus auch für

300^{\circ} \cdot 31

gefunden?

R

P . S . :

Bezogen auf deinen vorherigen Beitrag - dein

z

liegt nicht im dritten, sondern im 4. Quadranten.

anonymous

20:30 Uhr, 21.02.2016

so viel zum thema konzentration -.-

k. habs. für z^{31} lande ich gespiegelt von x im ersten quadranten. also bei +60°
ich hab falsch gezählt. ich hab von phi' angenfangen. nicht bei null. bin auch selber schuld -.-

wenn ich bei 0 anfange, also (1,0) und 6er schritte, weil 60°. komm ich bei 30 teildrehungen wieder auf (1,0). also bin ich bei einer weiteren bei

z = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}

ist das korrekt?

ich bin auf das falsche gekommen, da ich falsch angefangen habe zu zählen. und dann wäre ja (1,0) laut meiner falschen lösung das ergebnis. aber ich glaub jetzt hab ichs. ... hoffe ich.

Roman-22

21:09 Uhr, 21.02.2016

> z^{31}

lande ich gespiegelt von

x

im ersten quadranten. also bei +60°
Schon besser, aber noch nicht ganz richtig.
Du hast vergessen, dass es ja in die andere Richtung geht, da die Phase von

z

nicht +60° ist sondern -60° (das ist handlicher als +300°).

Du landest also wieder genau beim ursprünglichen

z!

R

anonymous

00:44 Uhr, 22.02.2016

mein fehler war, dass ich mit +60° die drehungen gezählt habe, gegen den uhrzeigersinn, aber mein winkel ja eigentlich 300° sind. ok, verstanden.

danke euch!!! und für eure geduld. am donnerstag schreib ich analysis. O.o
noch viel zu tun, wenn es bei sowas hängt -.-

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