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Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen

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20:04 Uhr, 05.02.2010

Hallo,ich verstehe das radizieren noch nicht ganz.

$416$

wenn es die Formel nicht anzeigt: 4te wurzel aus(-16)

|z|=256

k= 0,1,2,3

mein Winkel wäre jetzt arctan(0/-16) Wie soll denn das funktionieren?Außerdem verstehe ich nicht,wann ich zu meinem winkel phi oder 2 phi dazurechnen muss, bei -2+2i muss ich zu dem winkel z.b phi dazurechnen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

DK2ZA aktiv_icon

08:20 Uhr, 06.02.2010

\sqrt[4]{- 16} = \sqrt[4]{16 \cdot (- 1)} = \sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{- 1} = 2 \cdot \sqrt[4]{- 1}

Nun

\sqrt[4]{- 1} :

Es gibt vier Stück, die gleichmäßig verteilt auf einem Kreis um den Ursprung der komplexen Zahlenebene liegen.

Ihr Betrag (Kreisradius) ist 1.

Der zu

- 1

gehörende Winkel ist 180°

= π

. Also ist der zur ersten der vier Wurzeln gehörende Winkel 180°

/ 4 =

45°

= \frac{π}{4}

.
Die kartesischen Koordinaten der komplexen Zahl mit dem Betrag 1 und dem Winkel 45° sind Re

= \frac{1}{\sqrt{2}}

und Im

= \frac{1}{\sqrt{2}}

.

Die zweite vierte Wurzel aus

- 1

hat den Betrag 1 und den Winkel 45°+90° = 135°.
Mit Hilfe einer kleinen Skizze sieht man, dass hier Re

= - \frac{1}{\sqrt{2}}

und Im

= \frac{1}{\sqrt{2}}

.

Die dritte vierte Wurzel aus

- 1

hat den Betrag 1 und den Winkel 45°+2*90° = 225°.
Mit Hilfe einer kleinen Skizze sieht man, dass hier Re

= - \frac{1}{\sqrt{2}}

und Im

= - \frac{1}{\sqrt{2}}

.

Die vierte vierte Wurzel aus

- 1

hat den Betrag 1 und den Winkel 45°+3*90° = 315°.
Mit Hilfe einer kleinen Skizze sieht man, dass hier Re

= \frac{1}{\sqrt{2}}

und Im

= - \frac{1}{\sqrt{2}}

.

Nun sind die vierten Wurzeln aus

- 1

noch mit 2 zu multiplizieren:

w_{1} = 2 \cdot (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot j) = \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot j

w_{2} = 2 \cdot (- \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot j) = - \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot j

w_{3} = 2 \cdot (- \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot j) = - \sqrt{2} - \sqrt{2} \cdot j

w_{4} = 2 \cdot (\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot j) = \sqrt{2} - \sqrt{2} \cdot j

GRUSS, DK2ZA

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