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komplexer Logarithmus
Universität / Fachhochschule
Komplexe Zahlen
Tags: Komplexe Zahlen
 
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Aufgabe: Zeigen Sie, dass man zur Exponentialfunktion eine Umkehrfunktion ln : C* --> C definieren kann, dass diese aber nicht überall stetig ist. Hingegen gibt es eine überall stetige Umkehrfunktion ln : C \ R+ → C, wie in der Vorlesung besprochen. Welcher ist ihr Wertebereich? Lösung: Für z =/= 0 hat man die eindeutigen Polarkoordinaten z = |z|eiϕ mit ϕ ∈ [0,2π). Dann ist die Umkehrfunktion ln(z) = ln |z| + iϕ wohldefiniert, aber nicht stetig: wenn sich z von unten z.B. an den Punkt (1,0) annähert, so springt die Winkelkoordinate von knapp unter 2π auf 0. Das kann nicht behoben werden, weswegen der ln auf ganz C∗ nicht stetig ist. Aber auf C \ R+ ist er stetig. Der Wertebereich der Umkehrfunktion ln : C \ R+ → C ist R + i(0,2π). Fragen: - Woher ist die Umkehrfunktion in der Lösung gegeben? - Wie kann man die Stetigkeit für die Funktion ln(z) = ln |z| + iϕ nachweisen bzw. nachweisen dass diese nicht existiert? bzw. wie kann man "sehen" dass die Funktion springt? - wie wird dann am Ende der Wertebereich bestimmt? Ich habe ehrlich gesagt einfach große Schwierigkeiten der Lösung zu folgen und bitte um Erklärung.. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Logarithmusfunktion (Mathematischer Grundbegriff) Rechnen mit Logarithmen |
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Hallo 1. die Funktion wird als Umkehrfunktion von definiert, ihre Eigenschaften kann man daraus herleiten. Hier geht es darum auf welchem Gebiet sie eindeutig ist: wenn etwa ist, und du hast z=e^(i*2pi-\epsilon) dann ist ln(z)=i*2pi-\epsilon aber ganz nahe am Punkt aber hat den Winkel 0 und die Funktion springt also von i*2pi-\epsilon auf . sie ist unstetig. wenn man aber die ganze positive x-Achse aus dem Definitionsgebiet weglässt, gehört ja . der Punkt nicht zum Definitionsgebiet, also auch kein Sprung, also stetig auf dem Definitionsgebiet. klarer? Gruß lul |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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