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komplexer Logarithmus

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Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen

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10:29 Uhr, 25.02.2016

z =

lg(-10)

um Missverständnisse zu vermeiden.
Ich suche die komplexe Zahl

z

des Logarithmus zur Basis

10

von

(- 10)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Logarithmusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechnen mit Logarithmen

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10:34 Uhr, 25.02.2016

Schon gelesen? www.mathepedia.de/Logarithmus.aspx
Übergang zur Basis

10

geschiet per Formel

\lg (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (10)}

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10:38 Uhr, 25.02.2016

www.wolframalpha.com/input/?i=lg+%28-10%29

log = ln

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10:40 Uhr, 25.02.2016

Vorsicht mit Wolfram. Kompexer Logarithmus hat zunächst mal unendlich viele Werte.

Respon

10:47 Uhr, 25.02.2016

Sei

z \in ℂ

ln (z) = ln | z | + i \cdot (

arg (z)

+ 2 \cdot k \cdot π)

k \in ℤ

In unserem Beispiel ist

| z | = 10

und arg (z)

= π

Für

k = 0

erhält man den Hauptzweig

sonderuser3 aktiv_icon

10:54 Uhr, 25.02.2016

Wie berechnest du in diesem Fall denn das Argument?
Der Rest ist ersichtlich, danke.

Respon

10:58 Uhr, 25.02.2016

Eigentlich aus der Anschauung ( Gaussebene ).
Allgemein:

a + i \cdot b \Rightarrow tan (φ) = \frac{b}{a}

( Quadrant beachten

!)

sonderuser3 aktiv_icon

11:16 Uhr, 25.02.2016

Dem ist mir bewusst, aber ich habe ja lediglich die

(- 10),

sprich das Argument wäre in dem Fall dann ja

tan φ (\frac{b}{a}) = (\frac{0}{- 10})

bzw folgt daraus

φ =

arctan

(\frac{0}{- 10})

.
Wie erhälst du darauß pi?

Respon

11:19 Uhr, 25.02.2016

Wir haben vorerst

tan (φ) = 0

Es gäbe zwei Möglichkeiten:

φ_{1} = 0

oder

φ_{2} = π

Wegen der lage von

- 10

gilt also

φ = π

Roman-22

11:21 Uhr, 25.02.2016

>

Vorsicht mit Wolfram. Kompexer Logarithmus hat zunächst mal unendlich viele Werte.
Naja, die Gleichung

10^{z} = - 10

hat jedenfalls unendlich viele Lösungen und die liefert Wolfram auch

\to

www.wolframalpha.com/input/?i=10^x=-10

Was

l g (- 10) = \frac{1}{ln 10} \cdot ln (- 10)

anlangt, so liefert Wolfram den Hauptwert. Im Grunde genau so, wie es auf Mathepedia, auf die du ja verwiesen hast, beschreiben wird wird.
Dort hat sich übrigens ein Fehler ganz unten bei Beispiel 4 eingeschlichen. Die ANgabe sollte

ln (i^{i})

lauten.

>

Dem ist mir bewusst, aber ich habe ja lediglich die (−10),
Immer, wenn der Realteil negativ ist, musst du zum Ergebnis von

a r c t a n \frac{b}{a}

noch

π

oder 180° addieren.
Aber lass doch einfach die Anschauung sprechen. Wo

- 10

auf der Zahlengerade liegt, das weißt du und wo die Zahl

z = - 10 = - 10 + 0 \cdot i

in der Gauß-Eben darzustellen wäre dann ja wohl auch. Stell dir einfach den komplexen Zeiger vor, der da "nach links" zeigt. Welchen Winkel schließt der mit der positiven reellen Achse ein - die 180° oder

π

"siehst" du doch gleich, oder?

R

sonderuser3 aktiv_icon

11:35 Uhr, 25.02.2016

Vielen Dank, das kommt davon wenn man lediglich den Taschenrechner anschaut und sich keine Gedanken über die Position des Zeigers in der Zahlenebene macht.
Habs verstanden.

1292709

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