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komplexer Zahlen Betrag und argument

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Tags: Argument, Betrag, Komplexe Zahlen

 
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meierp23x

meierp23x aktiv_icon

23:15 Uhr, 23.11.2021

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wie gibt man betrag und Argument der folgenden komplexen zahl an? bin ratlos

-2(cos(π6)-isin(π6)


Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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ledum

ledum aktiv_icon

23:19 Uhr, 23.11.2021

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Hallo
beides steht doch da: Betrag 2, argument π6
ist dir klar, was Betrag und Argument sind?
ledum
meierp23x

meierp23x aktiv_icon

23:23 Uhr, 23.11.2021

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betrag ist der absolutwert und das argument der winkel
so hab ich das verstanden
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HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

16:54 Uhr, 24.11.2021

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Ok, zwei Anmerkungen:

1) Es ist cos(φ)-isin(φ)=cos(-φ)+isin(-φ)=e-φi

2) Es ist -1=eπi, d.h., das negative Vorzeichen entspricht für die Repräsentation der komplexen Zahl in der Gaußschen Ebene einer Punktspiegelung am Ursprung bzw. gleichbedeutend einer Drehung um 180=π um diesen Ursprung.


Beides zusammen ergibt hier für deinen Term

2eπie-π6i=2eπi-π6i=2e(π-π6)i,

das weitere solltest du dir nun aber zusammenreimen können.
meierp23x

meierp23x aktiv_icon

23:18 Uhr, 24.11.2021

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wie würde es dann weitergehen? kann mir das noch nicht ganz zusammenreimen
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Respon

Respon

00:28 Uhr, 25.11.2021

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"wie würde es dann weitergehen?"
Eigentlich hat es dir HAL9000 schon vorgerechnet.
-2(cos(π6)-isin(π6))=... =2e(π-π6)i
Und da π-π6=5π6 ist r=2 und φ=5π6


Natürlich gibt es noch andere, weniger "elegante" Rechenwege.
z.B.
-2(cos(π6)-isin(π6))=2(-cos(π6)+isin(π6))
Du kennst sicher die folgenden Regeln:
cos(α)=-cos(π-α)
-cos(π6)=-(-cos(π-π6))=cos(5π6)

sin(α)=sin(π-α)
sin(π6)=sin(π-π6)=sin(5π6)

Also ...
-2(cos(π6)-isin(π6))=2(-cos(π6)+isin(π6))=2(cos(5π6)+isin(5π6))
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rundblick

rundblick aktiv_icon

00:35 Uhr, 25.11.2021

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........... z=-2(cos(π6)-isin(π6))

".... argument π6 ° .. .. das ist leider falsch, ledum !


@meierp23x :

.......... z=-2(cos(π6)-isin(π6))

es ist z=+2[-cos(π6)+isin(π6)]

also z=+2[-123+i12]

also z=+2[cos(5π6)+isin(5π6)]


|z|=+2 ...und...-> arg(z) =5π6... (Winkel = 150° )

alles klar?
.
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