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komplizierte Differentialgleichung

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Trennung der Variablen

Knygs aktiv_icon

12:41 Uhr, 08.05.2015

Hallo zusammen,

für meine Bachelorarbeit soll ich eine Pumpensimulation programmieren wobei
ich folgende Differentialgleichung gegeben habe, die ich analytisch lösen soll.
(numerisch habe ich sie bereits mit dem Runge-Kutta-Verfahren 4ter Ordnung gelöst, aber einerseits will das der Professor nicht und andererseits bräuchte ich ab einem bestimmten Zeitpunkt eine unendlich kleine Schrittgröße, da das Verfahren sonst fehlerhaft wird (Drücke von minus

10^{200}

N/mm^2 werden berechnet)

p_punkt

= \frac{(a + p) \cdot (1 - a_{1} \cdot log (\frac{a + p}{a}))}{a_{1} \cdot V (t)} \cdot (-

V_punkt

- α \cdot A \cdot

√

(2 (p - p_{r})

/ρ

))

Es sind alle Faktoren gegeben und konstant, bis auf

V (t)

und V_punkt, die habe ich als Vektoren über Zeit gegeben (periodisch, mit sinusähnlichem Verlauf).

Ich habe leider nicht wirklich Erfahrung mit Differentialgleichungen (besonders in dem Umfang), aber so wie ich das verstanden habe sollte das mit der Trennung der Variablen funktionieren.
Die Kombination aus Wurzel und Logarithmus macht mir aber zu schaffen.
Leider habe ich nirgends etwas gefunden, dass an meine Gleichung nahe kommt. Nur teilweise mal ein Logarithmus oder eine Wurzel aber nicht als Summe und Produkt aus (wenn man es ausmultipliziert) acht Summanden.

Deswegen meine Fragen:
- kann mir jemand Tipps/Links oder konkrete Vorschläge etc geben, wie ich das lösen kann?
- Ist die Differentialgleichung in der Form überhaupt analytisch lösbar?

und ganz allgemein:
- Die Gleichung darf ich nicht "aufteilen" (sozusagen immer ein paar Teile zu 0 setzen) und die einzelnen Summanden mit ihren Trennungen der Variablen getrennt berechnen und am Schluss wieder zusammenzählen, oder? Für die einzelnen Teile würde ich es nämlich schon hinbekommen.

vielen Dank schon mal
und
viele Grüße
Knygs

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Edddi aktiv_icon

13:26 Uhr, 08.05.2015

. .

. so ganz nachvollziehen kann ich's noch nicht. Soll, das so aussehen:

\bar{p} = \frac{(a + p) \cdot (1 - a_{1} \cdot log (\frac{a + p}{a}))}{a_{1} \cdot V (t)} \cdot (- \bar{V} (t) - α \cdot A \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot (p - p_{r})}{ρ}})

Du sagst alles ist gegeben und soll V_punkt die Zeitableitung von

V (t)

sein, also

\bar{V} (t) = \frac{d V (t)}{d t}

Dann vereinfacht man

K_{1} = \frac{(a + p) \cdot (1 - a_{1} \cdot log (\frac{a + p}{a}))}{a_{1}}

K_{2} = α \cdot A \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot (p - p_{r})}{ρ}}

und erhält:

\bar{p} = \frac{K_{1}}{V (t)} \cdot (- \bar{V} (t) - K_{2})

\bar{p} \cdot V (t) = K_{1} \cdot (- \bar{V} (t) - K_{2})

\bar{p} \cdot V (t) = - K_{1} \cdot \bar{V} (t) - K_{1} \cdot K_{2}

K_{1} \cdot \bar{V} (t) + \bar{p} \cdot V (t) + K_{1} \cdot K_{2} = 0

\bar{V} (t) + \frac{\bar{p}}{K_{1}} \cdot V (t) + K_{2} = 0

. .

. mit Trennung der Variablen wird's dann aber nix, eher Var.

d

. Konst. oder Ansatzmethode.

;-)

Knygs aktiv_icon

13:54 Uhr, 08.05.2015

auf jeden Fall danke für die Antwort!

ja, genau, die Gleichung sieht so aus.

Und sorry, das mit dem "alles gegeben und konstant" war wohl bisschen schwammig formuliert.
Ich wollte damit sagen, dass ich

a, a 1, p_{r}, α, A, ρ, V (t)

und V_punkt (wie macht man denn den Strich drüber?) gegeben habe.

Leider helfen mir deine Vereinfachungen deswegen nicht weiter.
So, wie du die Gleichung am Schluss geschrieben hast hatte ich sie ursprünglich auch vorliegen. Dein

K_{1}

ist der E-Modul eines Fluids und dein

K_{2}

der Durchfluss durch ein Ventil, beides leider vom Druck

p

abhängig, weswegen ich durch die Abhängigkeiten dann die obige Gleichung bekomme.

Am Schluss soll eine Funktion von

p

über der Zeit rauskommen.

Es gibt noch ein paar Randbedingungen:

\to p (t = 0) = 5

\to

falls

p < p_{r}

ist, dann ist dein

K_{2}

gleich null.

\to

falls V_punkt

> 0

ist, dann ist

p = p (t = 0) = 5

\to p

ist immer positiv

Ich weiß nicht, ob sich deswegen bezüglich Trennung der Variablen etwas ändert, aber ich informiere mich mal über die von dir angesprochenen Methoden ;-)

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