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Universität / Fachhochschule
Elementare Zahlentheorie
Tags: Elementare Zahlentheorie
 
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Hallo die Angabe hier : Ein Problem aus dem alten China: Eine Bande von 17 Piraten hat einen Sack mit Münzen erbeutet. Bei dem Versuch, das Beutegut gerecht aufzuteilen, bleiben drei Münzen übrig. Bei dem Streit darüber, wer diese drei Münzen erhalten soll, wird ein Pirat getötet. Der Reichtum wird erneut versucht gerecht aufzuteilen, doch diesmal bleiben 10 Münzen übrig. Natürlich entsammt wiederum ein Streit, und wieder bleibt ein Pirat auf der Strecke. Nun aber kann die Beute gerecht aufgeteilt werden. Wie groß war die kleinst mögliche Anzahl von Münzen, die erbeutet wurde? ist hier das System von kogruenzen so : mod mod mod weil 15,16,17 paarweise Teilerfremd sind kann man den Chinesischen Restsatz anwenden oder? dh das Kgv . jetzt schreibe ich dh ich habe mod dh weitere Lösungen sind mit wobei 150 die Kleinste positive ist . stimmt das? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
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Hallo ich hab deine Rechnung nicht überprüft, doch direkt klar ist 150mod16=6 und nicht also ist es falsch Gruß ledum |
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Hallo, ich konnte mich nie an diese Formel gewöhnen. Bei wenigen (simultanen) Kongruenzen fasse ich lieber per Hand zwei zu einer zusammen. Ich mache das am Beispiel mod 16 mod 15 mal vor. Es soll also (1) gelten. Daraus wird (2) [Hierzu gibt es noch mehr zu sagen, dazu später.] Also haben wir , was zu bzw. (3) wird. Da nun gilt (und aus diesem Grunde wurde in (2) der ggT durch die Moduln 15 und 16 ausgedrückt!), muss eine Lösung von (3) dazu führen, dass und (4) gilt. (Ich hoffe, dieser Aspekt ist klar, denn er ist der mathematische Kern der Sache!) (4) führt also zu (5) (Ja, dass dort die gleiche Variable steht ist gewollt.) Damit ergibt sich nämlich einerseits, und (6) andererseits. (Dies rechtfertigt noch einmal, dass den gleichen Wert in (5) hat). (6) kann auch als mod 240 (7) ausgedrückt werden. Damit wurden zwei (simultane) Kongruenzen zu einer zusammengefasst. Deine Aufgabe besteht eigentlich nun nur noch darin, die Kongeuenzen mode 17 mod 240 zusammenzufassen. Das geht einfacher als man denkt, wenn man einen Blick hat. Wenn nicht, musst du eben das oben vorgestellte Verfahren darauf los lassen. Als Hilfe sei angemerkt, dass etwa gilt. Wozu man das auch immer gebrauchen kann. :-) Mfg Michael |
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Hallo, oder man löst es mit einfachen Mitteln: Eine Zahl zwischen und lässt bei Division durch einen um 1 größeren Rest als bei der Division durch . Eine Zahl zwischen und lässt bei Division durch einen um 2 größeren Rest als bei der Division durch . . Eine Zahl zwischen und lässt bei Division durch einen um 7 größeren Rest als bei der Division durch . Nun ist der Rest bei gleich und bei gleich also um genau 7 größer. Dann muss unsere erste Annäherung liegen. Da das gesuchte Ergebnis durch teilbar sein muss und dies offenbar nicht ist, muss man nun nur immer dazuaddieren, bis eine durch 5 und durch 3 teilbare Zahl rauskommt. Jetzt sieht man aber, dass wir am Ende eine 2 stehen haben und immer ein Vielfaches von 2 dazukommt, also muss man um auf eine durch teilbare Zahl zu kommen zunächst das 4-fache von addieren (am Ende muss eine Null stehen, die 5 ist nicht möglich, da 5 ungerade ist und gerade plus gerade gleich gerade ist) und dann muss man immer weiter das 5-fache von addieren. Das kann man sich leichter machen, indem man zunächst von den die abzieht und dann immer das 5-fache von also addiert. Aber was erhält man, wenn man von den die abzieht? Genau Und das ist dann modulo auch schon die Lösung, das mehrfache addieren von kann man sich hier schon mal schenken! |
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