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konkave Funktion: Maximum
Universität / Fachhochschule
Funktionen
Tags: Funktion
 
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Hallo alle zusammen, es geht gerade um konkave Funktionen, dass diese maximal ein Hochpunkt haben ansonsten kein Extremum. Da habe ich zwei Beweise "gemacht" und wollte euch fragen ob es so richtig ist, was man verbessern kann etc. (i) Behauptung: Funktion stetig und streng konkav. Sei , dann ist dieser Punkt das einzige Extremum der Funktion und es ist ein Maximum. Beweis: Da die Funktion streng konkav ist, ist . D.h. und für alle . Somit ist und . Es ist das einzige Extremum, da , d.h. und für jedes . -> Es gibt nur ein Punkt für das ist und das ist das angegeben . Kann man diesen Beweis so stehen lassen? Ist er richtig? Würdet ihr es anders machen? Der zweite Beweis: (ii) Behauptung: Jede stetige Funktion das streng konkav ist, hat ein Supremum. Beweis: Hier bin ich etwas unschlüssiger. Wäre dies richtig Wenn es ein mit gibt, so sind wir fertig (siehe Beweis oben). Existiert kein solches , so muss für alle sein, oder für alle . Im ersten Fall ist das Supremum und im zweiten Fall . \square Wäre euch dankbar, falls ihr Verbesserungsvorschläge habt, oder Fehler erkennen könnt. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Funktion (Mathematischer Grundbegriff) Extrema (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Hallo, ich kann nicht erkennen, dass Du mit Deinen "Beweisen" auch irgendetwas beweist. Ich würde ssgen: Aus der strengen Konkavitàt folgt für alle und damit ist streng monoton fallend. Deshalb folgt aus dass ist. Somit kann die notwendige Bedingung für ein Extremum an maximal einer Stelle erfüllt sein und die Funktion nur maximal eine Extremstelle haben. Da eine Funktion auch ohne Nullstelle streng monoton fallend sein kann, kann es sein, dass es auch gar keine Extremstelle gibt. |
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Danke für deine Antwort, Ich verstehe aber nicht, warum mein "Beweis" falsch ist? Ich finde es sieht zwar nicht so toll aus, aber es steht ja ungefähr das selbe wie bei dir? Oder irre ich mich? Dein Beweis ist aber natürlich schöner. Nur das einzige was fehlt bei dir ist, dass es sich um ein Maximum handelt. Reicht es da nur zu sagen, dass ist? Bei meinem "Beweis" habe ich das etwas umgeschrieben. Und zwar, dass die Stegung von (also ) von positiv zu negativ wechselt. Und genau das ist ja die Definition eines Maximums. Kannst du bei meinem zweiten "Beweis" auch etwas drüber schauen? Wie man das besser macht? Viele Grüße und danke für deine Hilfe :-) |
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Hallo, "Ich verstehe aber nicht, warum mein "Beweis" falsch ist?" "Sei 0" : Da wäre wenigstens darauf hinzuweisen, dass dieses gar nicht existieren muss, . dass es gar keine Nullstelle von geben muss. Dann folgerst Du daraus (und da unterstelle ich Dir mal zu Deinen Gunsten einige Tippfehler, sonst wäre das Ganze kommpletter Unsinn), dass und ist für alle . Ich habe schon einfachere Verklausulierungen von ist streng monoton fallen gelesen, zumal diese Formulierung hier nur für eine hinreichend kleine Umgebung gilt, da dies eine Folgerung aus ist und nicht aus für alle Die daran anschließende Folgerung (bereinigt um die Dir auch hier unterstellten Tippfehler) und führen letztendlich zu nichts anderem , als dass Du beweist, dass eine Maximumstelle ist. Das hättesrt Du einfacher haben können, da Du (soweit es existiert!) so gewählt hast, dass ist und wegen für alle ist natürlich auch und sowohl die notwendige, als auch die hinreichende Bedingung für ein Maximum ist für (das vielleicht existierende bewiesen. Jetzt kommst Du und ersetzt das durch weil Du ja oben für alle argumentiert hast. Aber da Du nicht von sondern nur von ausgegangen bist, gilt das eben nicht für alle sondern nur für hinreichend kleine . Hier fällt sozusagen etwas unbewiesenens als bewiesen vom Himmel! Beim zweiten Beweis berufst Du Dich für den Fall, dass es ein gibt mit auf den ersten Beweis, dessen Schwächen ich bereits genannt habe. Im Falle, dass es kein gibt, für das ist, da machst Du das Ganze zu umständlich. Es ist ein Lehrsatz aus den Anfängen der Differentialrechnung, dass stetige (und differenzierbare Funktionen sind stetig) Funktionen über abgeschlossenen Intervallen beschränkt sind, beschränkt nach oben und unten. Und wegen der abgeschlossenheit werden diese unteren und oberen Schranken auch immer angenommen, . das Supremum ist ein Funktionswert! Globale Extremstellen über abgeschlossene Intervalle treten entweder an den lokalen Extremstellen oder am Rand auf. Lokale Extremstellen hattest Du ausgeschlossen (kein mit damit ist die notwendige Bedingung für kein erfüllt), deshalb müssen die Extremstellen an den Rändern auftreten. Wenn es kein mit gibt, ist es natürlich zwingend, dass bzw. im gesammten Intervall gilt und somit die Funktion im gesamten Intervall streng monoton fallend bzw. streng monoton wachsend ist. Damit ist in diesen Fällen das Supremum gleich bzw. . "Nur das einzige was fehlt bei dir ist, dass es sich um ein Maximum handelt." Mein Beweis ist allgemein gehalten für Extremstellen. Wenn es aber eine solche Extremstelle geben sollte, dann gilt für sie (notwendige Bedingung) und letzteres wegen der Konkavität. Das aber sind die hinreichenden Bedingungen für ein Maximum. Das sollte man am Ende noch mit erwähnen, ist aber für den Beweis, dass es nur eine Extremstelle gibt nicht notwendig und deshalb von mir weggelassen worden. |
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Super Bummerang, ich bin dir wirklich dankbar für deine Hilfe in der letzten Woche :-) ich hoffe du hast mein Nachhaken nicht schlecht aufgefasst. Ich möchte das was ich nicht kann oder falsch mache auch lernen. Deswegen habe ich noch einmal nachgehakt. Ich mache nicht oft selbst Beweise. Vorallem kamen mir diese zwei Punkte beim Lesen selbst in den Sinn. Bei einem Übungsblatt ist das noch was anderes, da das meist aktueller Stoff ist, was auch geübt wurde und die Frage explizit ist. In diesem Fall habe ich mir die Fragen selbst gestellt. Beim 1. Beweis ging es mir darum, dass wenn ein Extremum vorgegeben ist, dass dieses aufjedenfall ein Maximum sein soll. Beim 2. Beweis ging es mir darum, dass jede Funktion die stetig ist, ein Maximum haben muss. Also kein Maximum als Extremum unbedingt, sondern einfach ein eindeutiger maximalwert der Funktion. z.B. die Funktion , hat ihr Maximalwert bei Danke für deine ausführliche Erklärung, ich hoffe, dass ich es beim nächsten mal besser mache :-) Ich hätte nicht gedacht, dass ich auf seine hilfsbereite Community antreffe Viele Grüße |
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