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konstruktion einer DGL aus Lösungsschar

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Lösung, Lösungsschar, Ordnung

mokaan aktiv_icon

13:56 Uhr, 01.01.2011

Hallo Ihr alle und ein frohes Neues!

Ich sitze jetzt schon seit einiger Zeit an folgender Aufgabe:

Konstruieren Sie eine homogene lineare Differentialgleichung der Form

y (t) = b_{1} (t) \cdot y ʹ (t) + b_{2} (t) \cdot y ʺ (t)

aus der Lösungsschar

y = c_{1} \cdot t + c_{2} \cdot e^{t}

. Bestimmen Sie nun mittels Variation der Konstanten eine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung

y (t) - 1 = b_{1} (t) \cdot y ʹ (t) + b_{2} (t) \cdot y ʺ (t)

.

Meine Idee ist nun:
Aus

y = c_{1} \cdot t + c_{2} \cdot e^{t}

folgt dann

y ʹ (t) = c_{1} + c_{2} \cdot e^{t}

und

y ʺ (t) = c_{2} \cdot e^{t}

.
Dabei setze ich aber voraus, dass

c_{1}

und

c_{2}

unabhängig von

t

sind. Darf ich das?
Als nächstes würde ich dann

y

y ʹ

und

y ʺ

in meine DGL einsetzen:

y (t) = b_{1} (t) \cdot y ʹ (t) + b_{2} (t) \cdot y ʺ (t)

\Rightarrow c_{1} \cdot t + c_{2} \cdot e^{t} = b_{1} (t) \cdot (c_{1} + c_{2} \cdot e^{t}) + b_{2} (t) \cdot c_{2} \cdot e^{t}

\Rightarrow c_{1} \cdot t + c_{2} \cdot e^{t} = b_{1} (t) c_{1} + (b_{1} (t) c_{2} + b_{2} (t) c_{2}) e^{t}

Mit einem Koeffizientenvergleich würde dann folgen:

c_{1} = 0

(da rechts kein Term mit

t

vorkommt)

c_{2} = b_{1} (t) c_{2} + b_{2} (t) c_{2} \Rightarrow 1 = b_{1} (t) + b_{2} (t)

b_{1} (t) c_{1} = 0

(was aber eine irrelevante Forderung ist, da ja schon

c_{1} = 0

Wenn ich allerdings

b_{1} (t) = t

setze, dann lieferte der Koeffizientenvergleich:

c_{1} = b e l i e b i g

c_{2} = b_{1} (t) c_{2} + b_{2} (t) c_{2} \Rightarrow 1 = b_{1} (t) + b_{2} (t)

Insgesamt hilft mir das aber alles nicht weiter.
Oder bin ich mit meiner Lösung total auf dem Holzweg?

Es wäre super nett, wenn mir da jemand weiterhelfen könnte!
Schon einmal besten Dank im Voraus,
Beste Grüße, mokaan

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pleindespoir aktiv_icon

15:01 Uhr, 01.01.2011

"Dabei setze ich aber voraus, dass c1 und c2 unabhängig von t sind. Darf ich das?"

Grundsätzlich erstmal schon.

Bei der VdK werden jedoch anstelle der C Funktionen eingesetzt, und die sind dann natürlich von t wieder abhängig - klar oder?

Was mich an der Aufgabenstelleung etwas verunsichert sind die b(t).

Sollen das schon die variierten Konstanten sein oder was? Oder was ganz anderes?

mokaan aktiv_icon

15:30 Uhr, 01.01.2011

Ich habe ehrlich gesagt keine Ahnung, was die

b (t)

genau sind.
Ich denke mal, es sollen irgendwelche Vorfaktoren sein. Aber mehr kann ich dazu leider nicht sagen. Diese

b (t)

sind es auch, die mich am meisten verwirren...

pleindespoir aktiv_icon

15:51 Uhr, 01.01.2011

Nach mehrmalig Lesen kam mir folgender Gedanke:

Die Funktion mit den b ist nicht die Aufgabe, sondern schon die Lösung, auf die hingearbeitet werden soll. Deswegen ist das ja auch alles so verwirrend, weil das ganze Pferd von hinten aufgezäumt wird.

Ein weiterer Hinweis ist auch:

y = c_{1} \cdot t + c_{2} \cdot e^{t}

Das ist ja auch schon die Lösung was die Struktur der gesuchten Funktion angeht.

Bestimmen Sie nun mittels Variation der Konstanten eine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung

y (t) - 1 = b 1 (t) \cdot y ʹ (t) + b 2 (t) \cdot y ʺ (t)

die würde ich erstmal richtigrum hinstellen:

y (t) - b 1 (t) \cdot y ʹ (t) - b 2 (t) \cdot y ʺ (t) = 1

Dann die Ableitungen bilden:

y = c_{1} \cdot t + c_{2} \cdot e^{t}

y ʹ = c_{1} + c_{2} \cdot e^{t}

y ʺ = c_{2} \cdot e^{t}

und einsetzen:

c_{1} \cdot t + c_{2} \cdot e^{t} - b 1 (t) \cdot c_{1} + c_{2} \cdot e^{t} - b 2 (t) \cdot c_{2} \cdot e^{t} = 1

MBler07 aktiv_icon

15:53 Uhr, 01.01.2011

Hi

So wie ich das sehe ist

b (t)

irgendeine Funktion. Dies kann eine konstante Zahl a sein oder eine Funktion. Also:

b (t) = a

b (t) = a \cdot t

b (t) = ln (t)

b (t) = \frac{t^{2} + 78623458763254 t}{ln (t)}

Oder halt irgendwas anderes.

Deshalb bin ich der Meinung, dass du bei deinem Koeffizientenvergleich

b_{1}

und

b_{2}

berechnen solltest. Das ist auch von der AUfgabenstellung her sinnvoll. Schließlich hast du die Lösung und sollst daraus die "Aufgabe" bestimmen. Nach deiner Vorgehensweise bestimmst du die Lösung aus einer nicht vorhanden Aufgabe. Hoffe mal, dass das so verständlich ist.

Grüße

mokaan aktiv_icon

16:02 Uhr, 01.01.2011

Okay, was sich hinter den

b (t)

versteckt, also dass eine beliebiege Funktion von

t

ist, sehe ich ein. Aber wie kriege ich die

b (t)

raus?
da bin ich noch nicht so ganz dahinter gekommen...

MBler07 aktiv_icon

16:13 Uhr, 01.01.2011

Durch eben den Koeffizientenvergleich. Ich nutze deine Vorarbeit:

c_{1} t + c_{2} e^{t} = b_{1} (t) c_{1} + (b_{1} (t) e^{t} + b_{2} (t) e^{t}) c_{2}

\Rightarrow t = b_{1} (t)

e^{t} = b_{1} (t) e^{t} + b_{2} (t) e^{t}

1 = b_{1} (t) + b_{2} (t)

b_{2} (t) = 1 - b_{1} (t)

b_{2} (t) = 1 - t

Nachvollziehbar?

Nur so als Hinweis: Ich weiß auch nicht,m ob ich damit richtig liege, finde aber, dass das recht gut aussieht...

mokaan aktiv_icon

16:29 Uhr, 01.01.2011

Okay, Nachvollziehbar auf jeden Fall
Ich versuche es damit noch mal ein bisschen!
Besten Dank!

Aber falls noch wer anders ne gute Idee hat: Ich bin für alle Vorschläge offen :-)

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