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kontrahierende Abbildung nachweisen

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

Schurli aktiv_icon

20:03 Uhr, 23.10.2015

Sei

T : C_{0} ([0, 1]) \to C_{0} ([0, 1])

definiert durch

(T f) (x) := 1 + λ \int_{0}^{1} x t f (t) d t

(λ \in ℝ)

Zu zeigen:

T

ist kontrahierende Abbildung wenn

∣ λ ∣ < 2

und

C_{0} ([0, 1])

mit

∣ ∣ \cdot ∣ ∣_{\infty}

versehen wird.

Zuerst habe ich mal ein Problem, weil ich nicht weiß was diese Abbildung soll: Es wird oben angekündet, dass

T

definiert wird und dann wird aber

T \circ f

definiert. Wie soll ich dann bitte wissen wie

T

alleine aussieht? Sieht das Jemand?

Ich habe das so angegangen in dem ich in die Definition der Kontraktion einsetze und sage:
zu zeigen:

∣ ∣ (T f) (x_{1}) - (T f) (x_{2}) ∣ ∣_{\infty} \leq λ ∣ ∣ x_{1} - x_{2} ∣ ∣_{\infty}

(hier hab ich mein zweites Problem: Die Unendlich-Norm ist ja nicht für Argumente sondern nur für Funktionswerte definiert, in der Definition der Kontraktion kommt aber bei beiden ein Normzeichen davor...

Jedenfalls hab ich nun folgende Abschätzung (nach oben) erhalten:

∣ ∣ (T f) (x_{1}) - (T f) (x_{2}) ∣ ∣_{\infty} = \dots = s u p (∣ λ (x_{1} - x_{2}) \int_{0}^{1} t f (t) d t ∣ = s u p ∣ λ ∣ ∣ x_{1} - x_{2} ∣ ∣ \int_{0}^{1} t f (t) ∣ \leq 2 \int_{0}^{1} ∣ t f (t) ∣ d t

(wobei ich letztere Abschätzung aus der Voraussetzung für

λ

uns dem Bewusstsein, dass ja

x_{1}, x_{2} \in [0, 1]

stammen müssen). Nur, ab da komm ich nicht weiter. Weil ich brauch ja für meine Kontraktionskonstante einen Wert zwischen 0 und 1 und die Differenz der beiden Argumente. Beides auf einmal haut nicht hin.

Kann mir jemand weiterhelfen? :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

20:07 Uhr, 23.10.2015

"Es wird oben angekündet, dass

T

definiert wird und dann wird aber

T \circ f

definiert."

Nein, die Abbildung ist

T

T \circ f

(besser

T (f)

zu schreiben) ist die Abbildung, angewandt auf eine Funktion. Denn diese Abbildung wirkt auf Funktionen, nicht auf Punkten. Also

T (f)

ist so etwas wie

f (x)

in der Analysis. Aber hier bist Du in Funktionalanalysis, und Funktionen agieren als Punkte.

DrBoogie aktiv_icon

20:09 Uhr, 23.10.2015

"hier hab ich mein zweites Problem"

Das mit dem ersten zusammenhängt.
In Wirklichkeit musst Du das zeigen:

∥ T (f_{1}) - T (f_{2}) ∥_{\infty} \leq α ∥ f_{1} - f_{2} ∥_{\infty}

für ein

α < 1

DrBoogie aktiv_icon

20:15 Uhr, 23.10.2015

Also,

∥ T (f_{1}) - T (f_{2}) ∥_{\infty} = ∥ λ \int_{0}^{1} x t (f_{1} (t) - f_{2} (t)) d t ∥_{\infty} = ∣ λ ∣ ∥ x \int_{0}^{1} t (f_{1} (t) - f_{2} (t)) d t ∥_{\infty} =

= ∣ λ ∣ \cdot ∣ \int_{0}^{1} t (f_{1} (t) - f_{2} (t)) d t ∣ \cdot ∥ x ∥_{\infty}

usw.

Schurli aktiv_icon

20:36 Uhr, 23.10.2015

Okay, deine Umformung habe ich zum Glück jetzt auch (so ähnlich) hinbekommen, allerdings verstehe ich dein Betrag vor dem Integral nicht; gehören da nicht die Supremumsnormstriche?

Außerdem würde mich interessieren ob es nötig ist hier das Integral (allgemein) durch partielle Integration aufzulösen?

Weiteres Problem: Unser

x

ist ja aus

[0, 1]

und nicht aus

[0, 1 [

, aber um eine Wahl für unser

α

zu bekommen, müssen wir doch garantieren können, dass

x

nicht mehr den Wert 1 annehmen kann.

Das Integral loszuwerden scheint mir notwendig, denn wir wollen ja

f_{1} - f_{2}

alleine stehen haben! Siehst du das genauso?

DrBoogie aktiv_icon

20:42 Uhr, 23.10.2015

"gehören da nicht die Supremumsnormstriche? "

Nein. Integral hängt nicht von

x

ab, das ist nur ein fester Koeffizient bei

x

. Da ist die Schreibweise

\int_{0}^{1} x t f (t) d t

ziemlich irreführend, viel besser ist es schon am Anfang

x \cdot \int_{0}^{1} t f (t) d t

zu schreiben.

"Außerdem würde mich interessieren ob es nötig ist hier das Integral (allgemein) durch partielle Integration aufzulösen?"

Nein. Das Integral musst Du abschätzen, nach diesem Muster:

∣ \int_{0}^{1} t f (t) d t ∣ \leq ∥ f ∥_{\infty} \cdot ∣ \int_{0}^{1} t d t ∣

und dann das "Restintegral" berechnen.

"Weiteres Problem: Unser x ist ja aus [0,1] und nicht aus [0,1[, aber um eine Wahl für unser α zu bekommen, müssen wir doch garantieren können, dass x nicht mehr den Wert 1 annehmen kann."

Wer hat das denn gesagt? Da verstehst Du etwas immer noch nicht.

Schurli aktiv_icon

21:36 Uhr, 23.10.2015

Ahhh, super, ich habe nun:

. . . \leq ∥ λ ∣ ∣ ∣ f_{1} (t) - f_{2} (t) ∣ ∣_{\infty} \cdot \frac{1}{2} .

Wähle also

α := \frac{∣ λ ∣}{2} < 1

So meinst du das, gelle? :-)

DrBoogie aktiv_icon

21:45 Uhr, 23.10.2015

Wählen musst Du auch nichts. Damit hast Du gezeigt, dass die Abbildung genau dann kontrahierend ist, wenn

\frac{∣ λ ∣}{2} < 1

. Das war auch zu zeigen. Fertig.

Schurli aktiv_icon

00:10 Uhr, 24.10.2015

Super, Dr. Boogie! Vielen Dank für deine Hilfe! :-)

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