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konvergent oder divergent

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Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

fritzkola aktiv_icon

12:10 Uhr, 23.06.2018

hallo,
ich habe eine Frage zum Majoranen / Minorantenkriterium.

gibt es hinweise, wann man lieber nach einer konvergenten Majorante oder wann nach einer divergente Minorante sucht ?

die Aufgabe ist folgende:

Σ (k^{2} \cdot \frac{\sqrt[2]{sin (\frac{20}{3} \cdot π)}}{10 + k})

den sin kann man vereinfachen: zu

\frac{\sqrt[2]{3}}{2}

ich bin noch etwas holprig was dieses Thema angeht.
ein versuch ist folgender:

durch die Minorante immer kleiner Reihe suchen bis man von einer weiß ob diese divergiert.

> \frac{k^{2} \cdot \frac{1}{2}}{10 + k^{3}} > \frac{k^{2} \cdot \frac{1}{2}}{2 \cdot k^{3}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{k^{2}}{k^{3}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{k} \to

divergente Minorante

ich würde mich sehr über Hilfe freuen.

grüß fritzkola

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

anonymous

14:02 Uhr, 23.06.2018

Hallo Fritzkola
Leider geht es bei dir ein wenig Drunter und Drüber.
Wollen wir mal zunächst einige Ungereimtheiten klären?

1)

Welche Summe meinst du?
Ich will vermuten, es könnte eine Summe über

k

sein. Also vielleicht

\sum_{k = 7}^{\infty}

Ohne dass du das hinschreibst, ist das eigentlich nicht verständlich.

2)

Welchen Nenner meinst du.
In der Aufgabenstellung schreibst du für den Nenner:

10 + k

Weiter unten schreibst du dann

10 + k^{3}

Sinn machte im weiteren Fortschritt, wenn gemeint ist
Nenner=

10 + k^{3}

3)

"den sin kann man vereinfachen zu:"

\frac{\sqrt{3}}{2}

Ja, das sehe ich auch so.
Dann gilt:

\sqrt{sin ()} = \sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}}

Und das könnten wir als Vorfaktor vor die Summe ziehen.
Das machte Sinn, das wäre verständlich, das wäre empfehlenswert.

Du sprichst an vergleichbarer Stelle später dann von

\frac{1}{2}

Das ist unverständlich, da ist der Sinn fragwürdig, das müsstest du weiter erklären.

4)

In Annahme, dass der Nenner eigentlich

(10 + k^{3})

heissen wollte:

\frac{a}{10 + k^{3}} > \frac{a}{2 \cdot k^{3}}

gilt für

k > \sqrt[3]{10}

Ist das gemeint?
Dann ja, dann ist das eine gültige divergente Minorante.

fritzkola aktiv_icon

15:23 Uhr, 23.06.2018

erstmal danke für deine ausführliche Antwort.

1)

ja ich habe die Option nicht gefunden im Formelbuch, wie ich sie vollständig schreibe.

es lautet:

\sum_{i = 1}^{k}

2)

hier ist mir ein Fehler unterlaufen.
der Nenner lautet:

k^{3} + 10

3)

stimmt, ich habe die

' \frac{1}{2}'

statt dem sin angenommen, da ich ja eine Minorante bilde und somit einen leichteren Ausdruck habe, und somit eine kleiner Reihe habe. Das ich es ganz einfach vor die Summe ziehen kann, weiß ich auch nicht warum ich darauf nicht gekommen bin.

4)

ja das war so gemeint. Muss ich dann noch aufführen für

k > \sqrt[3]{10}

in der Lösung ?

5)

gibt es sonst noch Hinweise in einer Reihe, wo man merken kann ob auf Majoranen oder Minoranten untersucht wird?
oder muss man ein Gefühl entwickeln und ein bisschen mit der Reihe 'spielen'

Vielen dank für deine Hilfe!

anonymous

15:55 Uhr, 23.06.2018

1 .)

\sum_{i = 1}^{k}

Nein, mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit nicht.
Der Index

i

ist bisher noch nirgends aufgetaucht.
Bitte schau dir doch erst mal an, was du schreibst, bevor du das in den Äther schickst...

Ich ahne, vielleicht

\sum_{k = 1}^{\infty}

5 .)

Ja, das hast du schon gut formuliert. Es ist einfach Erfahrungssache. Mit etwas Übung ahnt man besser, worauf man hinaus will.
Wenn man ahnt, dass die Reihe konvergent ist, dann wird man Mittel und Wege suchen, diese Konvergenz zu beweisen.
Wenn man ahnt, dass die Reihe divergent ist, dann wird man Mittel und Wege suchen, diese Divergenz zu beweisen.

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