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konvergenz/grenzwert

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen, Reihen

linski aktiv_icon

23:36 Uhr, 23.05.2009

hallo zusammen, ich habe hier ein dringendes problem an dem ich schon länger sitzte.

folgende aufgabe macht mir sorgen:

Es sei $(a_{n}) n \in N$ eine konvergente Folge. Man zeige: die Folge der arithmetischen Mittel

$A_{n} : = \frac{1}{n} (a_{1} + ... + a_{n})$ konvergiert und hat denselben Grenzwert wie die Folge $(a_{n})$ .

Ich weiss jetzt gar nicht wie ich anfangen soll, ich muss doch erst einmal zeigen, dass $A_{n}$ Konvergiert, oder?

Ich weiss noch nicht einmal wie ich das zeigen soll, geschweige denn wie ich dann vorgehe um zu zeigen, dass die den gleichen Grenzwert haben.

Mir müsste jemand einmal zeigen, wie man sowas macht...

Ich wäre euch sehr dankbar.;)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pepe1 aktiv_icon

09:08 Uhr, 24.05.2009

[

PS: Ich glaube, hier doch helfen zu dürfen, nachdem sich nun nach etwa

10

Stunden immer noch niemand der Aufgabe angenommen hat. Keinesfalls will ich wieder Gefahr laufen, daß sich jemand "provoziert" fühlen könnte oder ich mich irgendwelchen Pöbeleien aussetzen muß.

]

Ich halte den Beweis absichtlich etwas ausführlicher; das hat nichts mit "Redundanz",sondern mit mathematischer Korrektheit und Verständniserleichterung zu tun.

Heuristisch kann man sich die Aussage des Satzes schnell klar machen:

Wenn Folge

a_{n}

konvergiert, dann konvergiert auch die "arithmetisch gemittelte" Folge

A_{n} := \frac{1}{n} \cdot \sum_{l = 1}^{n} a_{l}

und zwar zum selben Grenzwert.

Die "arithmetische Mittelung" einer Folge hat häufig eine "konvergenzverbessernde Wirkung " zur Folge:
Beschränkte, nicht konvergente, divergente Folgen werden oftmals durch diesen "Mittelungsprozeß" zu konvergnten Folgen.

(z : B

a_{n} = {(- 1)}^{n})

Zum Beweis des Satzes:

Wir beweisen zunächst einen Spezialfall ( Grenzwert

0) :

(1)

Wenn

lim_{n \to \infty} a_{n} = 0,

dann konvergiert auch

A_{n} : = \frac{1}{n} \cdot \sum_{k = 1}^{n} a_{l}

und es gilt:

lim A_{n} = 0 .

Dies folgt unmittlbar aus der

ε - N (ε) -

Konvergenzdefinition einer Folge:

Sei also

ε > 0

beliebig vorgegeben.

Zu

\frac{ε}{2}

existiert

N_{1} := N_{1} (\frac{ε}{2}) \in ℕ

mit der Eigenschaft:
(2)

| a_{n} - 0 | = | a_{n} | < \frac{ε}{2}

für alle

n > N_{1}

Desweiteren folgt, wegen der Konvergenz der Folge

b_{n} := K \cdot \frac{1}{n} :

K

ist eine reelle Konstante

> 0; lim_{n \to \infty} b_{n} = 0 :

\frac{ε}{2}

existiert ein

N_{2} \in ℕ, N_{2} := N_{2} (\frac{ε}{2}),

(wobei

N_{2} \in ℕ o

B . d . A

größer

N_{1}

gewählt werden kann:

N_{2} > N_{1})

mit der Eignschaft:

(3)

| K \cdot \frac{1}{n} | = K \cdot \frac{1}{n} < \frac{ε}{2}

für alle

n > N_{2} > N_{1}

K

sei nun die Konstante:

K := \frac{1}{n} \cdot \sum_{k = 1}^{N_{1}} | a_{l} | > 0;

[

beachte

N_{1} \in ℕ,

fest

]

Für die "arithm. gemittelte" Folge

A_{n} : = \frac{1}{n} \cdot \sum_{k = 1}^{n} a_{l}

folgt dann mit der Dreiecksungeichung:

Für alle

n > N_{2}

gilt:

| A_{n} - 0 | = | \frac{1}{n} \cdot \sum_{k = 1}^{n} a_{l} | \leq \frac{1}{n} \cdot \sum_{k = 1}^{N_{1}} | a_{l} | + \frac{1}{n} \cdot \sum_{k = N_{1} + 1}^{n} | a_{l} | = K \cdot \frac{1}{n} + \frac{1}{n} \cdot \sum_{k = N_{1} + 1}^{n} | a_{l} | \leq \frac{ε}{2} + \frac{n - N_{1}}{n} \cdot \frac{ε}{2} \leq ε

[

wegen (2),

(3)

und

0 < \frac{n - N_{1}}{n} < 1]

Dami ist

(1)

für den Spezialfall ( Grenzwert

= 0)

bewiesen.

Zum 2. Teil:

Verallgemeinerung der Aussage

(1)

auf bel. Grenzwerte:
(5)

Wenn

lim_{n \to \infty} a_{n} = a, a \in ℝ,

dann konvergiert auch

A_{n} : = \frac{1}{n} \cdot \sum_{k = 1}^{n} a_{l}

und es gilt:

lim s_{n} = a .

Zum Beweis:

Wenn

a_{n} \to a,

dann strebt die Folge

a_{n} - a \to 0

. Nach dem eben bewiesenen Spezialfall, siehe(1) folgt dann

A_{n} : = \frac{1}{n} \cdot \sum_{k = 1}^{n} (a_{l} - a)

konvergiert und

lim_{n \to \infty} A_{n} = 0 .

0 = lim_{n \to \infty} A_{n} : =

= lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \cdot \sum_{k = 1}^{n} (a_{l} - a) = lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \cdot \sum_{k = 1}^{n} a_{l} - a = 0

daraus folgt:

lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \cdot \sum_{k = 1}^{n} a_{l} = a,

[

beachte

\frac{l}{n} \cdot \sum_{k = 1}^{n} a = a]

was zu beweisen war.

MfG

linski aktiv_icon

11:09 Uhr, 24.05.2009

Vielen Dank erstmal für deine Antwort.
Mein Problem ist, dass ich sowas noch nie gemacht hab und wir auch einfache Beispiele nicht gemacht haben somit ist es allein schon schwer für mich deinen Beweis nachzuvollziehen.:(. Könntest du mir das vielleicht noch erklären?
Ich finde die Aufgabe schon recht schwer für jemanden der gerade erst ein paar wochen studiert.:(
Und noch eine Frage zum Leseverständnis :"An:=1n⋅∑k=1nal"?
Nochmals vielen dank.

(3)

|K⋅1n|=K⋅1n<ε2 für alle

n > N 2 > N 1

K

sei nun die Konstante: K:=1n⋅∑k=1N1|al|>0;

[

beachte N1∈ℕ, fest]
Für die "arithm. gemittelte" Folge An:=1n⋅∑k=1nal folgt dann mit der Dreiecksungeichung:

Für alle

n > N 2

gilt:
|An-0|=|1n⋅∑k=1nal|≤1n⋅∑k=1N1|al|+1n⋅∑k=N1+1n|al|=K⋅1n+1n⋅∑k=N1+1n|al|≤ε2+n-N1n⋅ε2≤ε

[

wegen (2),

(3)

und

0 < n - N 1 n < 1]

Dami ist

(1)

für den Spezialfall ( Grenzwert

= 0)

bewiesen.

pepe1 aktiv_icon

12:23 Uhr, 24.05.2009

Einiges ist schwer zu lesen; ich probier´s:

A_{n} = \frac{1}{n} \cdot \sum_{l = 1}^{n} a_{l} = \frac{1}{n} \cdot (a_{1} + a_{2} + a_{3} + ... a_{n})

abkürzende Schreibweise mit Summenzeichen

Zum Beweis:
1.)Zunächst brauchen wir die

ε - N (ε)

Definition.
( Es ist wichtig, diese zu "verinnerlichen", auch wenn diese Abstraktion gerade für jemanden, der am Anfang steht, nicht unbedingt einfach ist. )

2 .)

Der "Trick" im Beweis ist: Zerlege die Summe in zwei Teile:
(nun ohne Summenzeichen,; dieses jedoch würde viel an Schreibarbeit und Übersichtlichkeit vereinfachen. )

\frac{1}{n} \cdot (a_{1} + a_{2} + a_{3} + ... a_{n}) = \frac{a_{1} + a_{2} + ... a_{N_{1}}}{n} + \frac{a_{N_{1} + 1} + ... a_{n}}{n}

Der erste Teil->0, weil

\frac{1}{n}

eine Nullfolge ist;

N_{1}

fest(!) ist: es handelt sich somit um

N_{1},

also einer Summe von endlich vielen Nullfolgen

\to

Nullfolge

Der zweite Teil der Summe wird "klein", da

a_{n}

Nullfolge ist, also: ab einem gewissen Index (nat.Zahl, etwa

n > N_{2})

ist

| a_{n} | < \frac{ε}{2}

somit auch

\frac{a_{N_{1} + 1} + ... a_{n}}{n} \leq \frac{| a_{N_{1} + 1} | + ... | a_{n} |}{n} \leq \frac{n - N_{1}}{n} \cdot \frac{ε}{2} \leq

\frac{ε}{2},

denn

\frac{n - N_{1}}{n} \leq 1

Damit strebt die ganze Summe

\to 0

Vom Spezialfall : Grenzwert 0 zu Grenzwert a beliebig , ist einfach:
Führe

a_{n} \to a

über in die Nullfolge

a_{n} - a \to 0

Alles andere sind Grundlagen und formale Beweistechnik:

z

. B. Dreiecksungleichung bzw.

\frac{ε}{2}

statt

ε .

Noch Fragen?

MfG

linski aktiv_icon

22:05 Uhr, 24.05.2009

Mir ist gerade bei der Aufgabenstellungaufgefallen, dass ich mich eventuell vertan hab. Die Aifgabenstellung heisst; An:1/n*(a1+a2+a3+...an)

Vielen dank nochmal

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