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konvergierende Mengenfolgen

Universität / Fachhochschule

Maßtheorie

Tags: Maßtheorie

sabsi

11:41 Uhr, 21.10.2020

Ich habe folgende Mengenfolgen:

A_{n} = {k \in ℕ :

n teilt k

}

B_{n} = {k \in ℕ :

k ist Primteiler von n

}

Die Frage ist welche konvergieren und was die Grenzmenge ist:

Also damit sie konvergieren müsste ja gelten

lim inf A_{n} = lim sup A_{n}

wobei

lim inf = {x ∣ x \in A_{n}

mit Ausnahme endlich vieler

}

lim sup = {x ∣ x \in A_{n}

für unendlich viele n

}

Zum Beispiel:

Für A_n wird die Menge ja immer kleiner je größer das n wird... aber das jedes n immer 2n teilen wird ist A_n nie leer. FOlglich kann die Grenzmenge auch nicht die leere Menge sein.

Für B_n war mein erster Gedanke die Menge aller Primzahlen könnte die Grenzmenge sein, aber wenn ich mir die Definition von liminf und limsup anschaue kann es auch hier keine Grenzmenge geben. Weil "in allen bis auf enldich viele B_n" würde nur die 1 vorkommen.( sofern man 1 als Primzahl zulässt) ansonsten.

Kann es sein dass beide NICHT konvergieren?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

11:49 Uhr, 21.10.2020

Sei

n_{0}

eine beliebige Zahl. Dann liegt

n_{0}

in keiner Menge

A_{n}

für

n > n_{0}

. Damit liegt

n_{0}

nicht in

\cup_{n = n_{0} + 1}^{\infty} A_{n}

und deshalb nicht in

\cap_{m = 1}^{\infty} \cup_{n = m}^{\infty} A_{n}

, was

limsup A_{n}

ist. Also

n_{0}

liegt nicht in

limsup A_{n}

und

n_{0}

war beliebig. Damit liegt keine Zahl in

limsup A_{n}

, womit diese Menge leer ist.

HAL9000

11:51 Uhr, 21.10.2020

> Für

A_{n}

wird die Menge ja immer kleiner je größer das

n

wird...

Vorsicht mit der Wortwahl: "Kleiner" im Mengensinne heißt, dass

A_{n + 1} \subseteq A_{n}

gilt. Das ist hier für alle

n \geq 2

nicht der Fall - es gilt hier lediglich

A_{m} \subseteq A_{n}

im Fall

n ∣ m

.

> Folglich kann die Grenzmenge auch nicht die leere Menge sein.

Da irrst du dich: Falls du mit

ℕ

die natürlichen Zahlen OHNE Null meinst, dann ist die Grenzmenge hier die leere Menge (siehe Beweis DrBoogie). Was auch inhaltlich sofort klar ist: Es gibt keine positive ganze Zahl mit unendlich vielen Teilern, daher ist

\underset{n \to \infty}{limsup} A_{n} = \emptyset

;-)

Zu

B_{n}

: Zunächst mal ist 1 keine Primzahl, und in der Definition von

B_{n}

ist explizit von Primteilern die Rede.

Tatsächlich ist

\underset{n \to \infty}{liminf} B_{n} = \emptyset

, weil es keine Primzahl gibt, die fast alle positiven ganzen Zahlen teilt. Andererseits ist

\underset{n \to \infty}{limsup} B_{n} = ℙ

die Menge der Primzahlen, denn jede Primzahl ist Teiler von unendlich vielen positiven ganzen Zahlen.

Die Ungleichheit

\underset{n \to \infty}{liminf} B_{n} \neq \underset{n \to \infty}{limsup} B_{n}

sagt, dass es keine Grenzmenge hier gibt. Insofern liegst du da richtig.

P.S.: Verändert man die Definition von

B_{n}

dahingehend, dass "Primteiler" durch "Teiler" ersetzt wird, dann ändern sich die Mengen zu

\underset{n \to \infty}{liminf} B_{n} = {1}

sowie

\underset{n \to \infty}{limsup} B_{n} = ℕ

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