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lage einer ebenen- und geradenschar
Schüler Fachschulen, 13. Klassenstufe
Tags: Geometrie
 
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anonymous 19:17 Uhr, 16.04.2004  |
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hallo erstmal, ich bin neu hier und brauche mal nen bissel hilfe bei einer gewissen aufgabe ... sie plagt mich schon scheit 2 tagen X_X also, ich soll etwas über die lage einer ebenen- und geradenschar sagen. die beiden sehen folgendermaßen aus : ............0.............0............1 E:.x=.......0........+k*..1.......+m*..1 ...........-2b........... b............1+b ........1...........1 g:.x=....2.....+s*..0 ........1...........a tut mir leid wegen der punkte ... ich wusste nciht wie ich es sonst darstellen sollte mit dem gaus lagorythmus bin habe ich die sache folgendermaßen erweitert : 0 1m -1s | 1 0 -1m +as | 0 bk (1+b)m -as | 1+2b daraus läss sich folgendes schließen : s(a-1) = 0 nur was nützt mir das jetzt ? ich kann wenig damit anfangen . gedacht habe ich mir folgendes : für den fall a=1 ist s-s = 0 => 0 = 0 was doch bedeuten würde, das die gerade mit a=0 in der ebene liegt ... oder ? für den fall a ( ungleich ) 1 würde es ein wiederspruch geben, welcher besagt das die gerade und die ebene echt parallel sind ... oder ? ich bin für alle hilfreichen antworten sehr dankbar ... die alles was mich weiter bringt hindert mich daran mir meine haare raus zu rupfen |
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Hallo Zakk wenn ich deine Punkte richtig interpretiere, willst du damit folgendes andeuten: Die Gerade g hat also den festen Punkt (1/2/1) und mit dem Parameter a kann die Richtung noch etwas variiert werden. Die Ebene E hat keinen festen Punkt, sondern sowohl der Ankerpunkt als auch die Richtungsvektoren sind vom Parameter b abhängig. Ich würde mal Folgendes überlegen: welche Lagen sollen überhaupt untersucht respektive speziell erwähnt werden? Nun, ich denke an folgende Fälle: I) Die Gerade liegt in der Ebene II) Die Gerade liegt ausserhalb der Ebene, aber Parallel zu ihr III) Die Gerade schneidet die Ebene IV) (eventuell) Die Gerade steht senkrecht zur Ebene Für den Fall I) müsste der Punkt (1/2/1) in der Ebene liegen. Dies kann mit Variieren des Parameters b erreicht werden und führt zu folgendem Gleichungssystem: m=1 k+m=2 -2b+kb+m(1+b)=1 die ersten beiden Gleichungen liefern sofort m=1 und k=1; die in der 3. Gleichung eingesetzt liefert: -2b+b+1+b=1; und weiter: 0=0, also keine Bedingung für b. das heisst jetzt aber: der Punkt (1/2/1) liegt jedenfalls in der Ebene E, egal welchen Wert b hat. (Oder anders ausgedrückt: den Punkt (1/2/1) erreiche ich über die Ebene mit den beiden Richtungsvektoren (0/1/b) und (1/1/1+b), wenn ich für m=1 und für k=1 setzte, egal, wie b gesetzt ist). Somit entfällt der oben aufgeführte Fall II) Um eine Gerade zu erhalten, die ganz in der Ebene liegt (also unser Fall I), muss der Richtungsvektor der Geraden als Linearkombination der beiden Richtungsvektoren der Ebene dargestellt werden können. Die führt zu den 3 Gleichungen: 0k+1m=1 1k+1m=0 bk+(1+b)m=a m=1 k+m=0 bk+(1+b)m=a m=1 k=-1 -b+1+b=a m=1 k=-1 a=1 Für a=1 liegt also die Gerade in der Ebene. (Fall I) Für a ungleich 1 schneidet die Gerade die Ebene (im Punkt (1/2/1)) (Fall II) Und Fall IV)? Da muss das Vektorprodukt der der beiden Ebenen-Richtungsvektoren parallel zum Richtungsvektor der Geraden liegen. Dies führ zu den 3 Gleichungen 1=s 0=b sa=-1 s=1 b=0 a=-1 Für b=0 und a=-1 steht die Gerade also senkrecht auf der Ebene. (Fall IV) Herzliche Grüsse Paul www.matheraum.de |
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anonymous 11:28 Uhr, 17.04.2004 |
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hallo Paul und erstmal vielen dank für deine antwort ! also deine berechnungen scheinen mir sehr schlüssig =) allerdings sollten wir in dieser aufgabe die möglichen ereignisse aus dem gaus algorythmus interpretieren. meine versuche es mit den unteren tool darzustellen sind gescheitert :P ich habe die gerade mit der ebene gleich gesetzt und daraus 3 gleichungen erstellt : 0k+m-s=1 k+m=2 bk+m(1+b)-as=1+2b nun habe ich ( durch elemination !?! ) gleichung 2 mit b multipliziert gleichung 3 mit -1 und mit gleichung 2 addiert: 0k+m-s=1 0k-m+as=-1 bk+m(1+b)-a=1+2b jetzt brauchte ich nur noch gleichung 1 mit gleichung 2 zu addieren und habe eine art gausdreieck im logarythmus zu stande bekommen ( die ursprüngliche reihenfolge der gleichungen habe ich in klammern dahinter gesetzt ) bk+m(1+b)-a=1+2b (3) 0k+m-s=1 (1) 0k+0m+s(a-1)=0 (2) daraus können wir s(a-1)=0 interpretieren : ist a=1 => 0=0 ( müsste bedeuteten das die gerade für alle a=1 in der ebene liegt ) für alle anderen a gilt: s=0 was bedeutet das der richtungsverktor der ebene mit 0 multipliziert wird und der "ankerpunkt" der schnittpunkt für alle b ist. habe ich das richtig interpretiert ? Paul, denie letzte rechnung mit den beiden richtungsvektoren der ebene kappiere ich nicht so ganz , ich weiß nicht wie du auf die ergebnisse oder auf die bedinung gekommen bist ( wenn es eine bedingung ist ) vielen dank Zakk |
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Hallo Zakk ich muss jetzt leider weg. Aber nur soviel: dein Interpretationsen scheinen richtig zu sein! (Man sieht ja auch aus meinen Berechnungen, dass (1/2/1) für alle Werte von b in der Ebene liegt. Dieser Punkt hätte also für die Ebene als Ankerpunkt genommen werden können, entgegen meinem in der 1. Antwort angegebenen Satz, dass E keinen festen Ankerpunkt habe. Viele Grüsse Paul P.S. ich melde mich dann nochmals, wenn ich etwas mehr Zeit habe wegen deiner zusätzlichen Frage www.matheraum.de |
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anonymous 12:03 Uhr, 17.04.2004 |
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hiho Paul ! danke für deine antwort, ich warte schon begierig auf deine erläuterung =) your´s Zakk |
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anonymous 12:16 Uhr, 17.04.2004 |
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hiho, ich bins wieder ! mir ist gerade etwas eingefallen ... ein produkt 2 vektoren, welche eine ebene aufspannen , das ist doch der normalenvektor , dieser ist ebenfalls ortogonal zu der ebene und somit prallel zu anderen ortogonalen vektoren. |
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anonymous 12:34 Uhr, 17.04.2004 |
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sorry das ich mich 3 mal hintereinander melde, aber ich habe die normalform auch mal berechnet und wollte die mal zur schau stellen :P I 0 + y +bz =0 II x + y +z(1+b) =0 wenn man nun die erste gleichung mit -1 multipliziert stößt man auf folgende gleichung : x +z = 0 x = -z | z = 1 ( da 3 unbekannte bei 2 gleichungen ) x = -1 -1+y+1+b=0 y=b -1=1 b=0 1=a also b=0 und a=1 nur was bedeutet -1=1 !?!? THX Zakk |
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Hallo Zakk da bin ich wieder. Es freut mich, dass du selber auf die Erklärung bezüglich Vektorprodukt gekommen bist! Nun zu deiner neuen Frage: -1=1 Wenn du keine Rechenfehler gemacht hast, bedeutet eine solche Gleichung imme, dass es keine Lösung gibt (weil das ja wirklich unmöglich ist). Das könnte z.B. bedeuten, dass du z=1 nicht setzten darfst (der Normalenvektor könnte ja, rein theoretisch, in der x-y-Ebene liegen und somit nirgends einen z-Wert von +1 bekommen). Bei unserem Beispiel bedeutet es aber etwas anderes: du hast einen Fehler eingebaut. Sieh, was du geschrieben hast: ---------------------------------- -1+y+1+b=0 y=b -1=1 b=0 1=a also b=0 und a=1 ---------------------------------- Wenn du in der ersten Gleichung y=b einsetzt und dann noch b=0, dann erhältst du nicht 1-=1, sondern -1+1=0, also 1=1 Mit freuundlichen Grüssen Paul |
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anonymous 20:22 Uhr, 17.04.2004 |
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hi paul ! ich verstehe nicht ganz welchen fehler ich gemacht habe, ich habe ja folgendes berechnet : ------------------------------------- I 0 + y +bz =0 II x + y +z(1+b) =0 wenn man nun die erste gleichung mit -1 multipliziert stößt man auf folgende gleichung : x +z = 0 x = -z | z = 1 ( da 3 unbekannte bei 2 gleichungen ) x = -1 -1+y+1+b=0 y=b -------------------------------------- da habe ich doch schon zu anfang herleiten können, das z=1 und somit x=-z => x=-1 ist. dies habe ich dann als x koordinate ( wenn man es in richtungsvektoren so nennen kann ) eingesetzt und bin dann auf das gennante ergebnis gekommen. habe es nie so gemacht, das ich den x wert ein 2. mal berechne ... oder habe ich etwas falsch verstanden ? sorry schonmal :P Zakk |
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anonymous 20:49 Uhr, 17.04.2004 |
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was ich gerade bemerkt habe ... ich haabe das ergebis einfach entnommen ... da ich aber den normalenvektor und den vektor der geraden gegenüberstelle, kann ich nur fälle darstellen, damit der richtungsvektor ein fichfaches vom normalenvektor ist ... das würde bedeuten : -1=1 b=0 1=a -1=s b=0 | muss 0 sein 1=as | a= -1 , damit diebeiden vektoren identisch sind -1=s 0=0 -1=s hoffe das ist richtig deine rechenvaiante sieht aber auch intressant aus, wenn es dir nciht zu umstendlich ist könntest du mir ja ein guide linken wo diese rechenweise erläutert wird =) MFG Zakk MFG Zakk |
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