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lim (n über k) 1/nhochk = 1/k!

Universität / Fachhochschule

Tags: Analysis

anonymous

18:35 Uhr, 25.05.2006

\lim_{n \to \infty} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) \frac{1}{n^{k}} = \frac{1}{k!}

Julia

22:51 Uhr, 25.05.2006

wie beweist man das?

anonymous

23:19 Uhr, 25.05.2006

Abend Julia,

der Beweis dafür ist recht einfach wenn du dir den Binomialkoeffizienten ausschreibst, dann steht die Lösung praktisch da...

\lim_{n \to \infty} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) \frac{1}{n^{k}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{k}} \frac{n!}{k! (n - k)!} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{k}} \frac{(n) (n - 1) (n - 2) * ... * (n - k + 1)}{k!} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{{k!}^{}} \frac{(n) (n - 1) (n - 2) * ... * (n - k + 1)}{n * n * n * ... * n} = 1 / k!

Also bei dem einen Schritt kürzen sich ja die ersten k Faktoren raus, so dass oben nur noch k Faktoren stehen bleiben, aber n^k sind auch k Faktoren, also kann man diese einzeln auf Brüche schreiben und da dein k unabhängig von n ist geht jeder dieser brüche gegen 1 also bleibt nur noch dein 1/k! übrig
QED
mfg

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