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lim sup(a+b) </= lim. sup a+ lim sup b

Universität / Fachhochschule

Funktionenfolgen

Grenzwerte

Tags: Beschränkt, Funktionenfolgen, Limes Superior, limes x gegen unendlich

Zera1212 aktiv_icon

20:24 Uhr, 21.11.2017

Hallo,
ich bräuchte Hilfe bei den folgenden zwei Teilaufgaben. Ich komme leider auch auf keine Idee, wie ich anfangen soll. Danke schon mal im Voraus. Mit freundlichen Grüßen Zera

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

20:34 Uhr, 21.11.2017

a) indirekter Beweis, unter Ausnutzung der Definition

b)

a_{n} = (- 1)^{n}

b_{n} = (- 1)^{n + 1}

Zera1212 aktiv_icon

23:04 Uhr, 21.11.2017

Danke. Also ich habe die Definition, dass limsup

a_{n} :=

limsup

{a_{k} : k \frac{>}{=} n}

. Wie kann ich denn das da einbauen? Stehe irgendwie momentan aufm Schlauch:/

DrBoogie aktiv_icon

08:41 Uhr, 22.11.2017

Annahme:

limsup (a_{n} + b_{n}) > limsup a_{n} + limsup b_{n}

.
Nehmen ein

c

, das genau in der Mitte zwischen diesen Zahlen liegt und definieren

ε = limsup (a_{n} + b_{n}) - c

. Nach Definition von limsup gibt's eine Teilfolge

n_{k}

von

a_{n} + b_{n}

, so dass

a_{n_{k}} + b_{n_{k}} > limsup (a_{n} + b_{n}) - ε

.
Andererseits existiert ein

N

, so dass

a_{n} < limsup a_{n} + ε / 2

und

b_{n} < limsup b_{n} + ε / 2

für alle

n > N

- das folgt wiederum direkt aus der Definition.
Wenn wir jetzt ein

k

nehmen, so dass

n_{k} > N

, so bekommen ein Widerspruch:
Einerseits

a_{n_{k}} + b_{n_{k}} > limsup (a_{n} + b_{n}) - ε = c

, andererseits

a_{n_{k}} + b_{n_{k}} < limsup a_{n} + ε / 2 + limsup a_{n} + ε / 2 = c

.
Also konnte die Annahme nicht stimmen.

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