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linear unabhängig, Erzeugendensystem ergänzen

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Vektorräume

Tags: Erzeugendensystem ergänzen, linear unabhängig, Vektorraum

MissesTweety aktiv_icon

16:03 Uhr, 22.11.2012

Hallo Ihr,

ich bin mal wieder am verzweifeln. Wahrscheinlich seh ich nur irgendetwas nicht. Die Aufgabe lautet wie folgt:

Gegeben seien die Vektoren

a = {(1,0,3,4)}^{T}, b = {(4,3,0, - 1)}^{T}, c = {(5,3,3,3)}^{T}

Element

R^{4}

a)

sind die Vektoren

a, b, c

linear unabhängig?

b)

Ergänzen Sie die Vektoren

a, b, c

mit einer minimalen Anzahl anderer Vektoren zu einem Erzeugendensystem des

R^{4}

. Begründen Sie Ihr Vorgehen.

Zu

a)

hab ich bereits die Determinante berechnet, bei der ich

45

heraus bekam und damit ungleich 0 ist: linear unabhängig....

aber eine Basis bilden diese dann nicht, weil es ja in

R^{4} 4

Vektoren sein müssten, oder??

zu b)...bin bin ratlos. Habe bei dieser Woche zum ersten mal etwas von einem Erzeugendensystem gelesen. Aber soweit ich das verstanden habe ist es nur ein Vektor, den ich ergänzen muss. Und in anderen Foren habe ich etwas von diese basisvektoren

z . B

(1,0,0,0)

gelesen. Aber damit kann ich leider gar nichts anfangen.

Könnt Ihr mir bitte helfen? Ich möchte das gerne verstehen und lösen können.

Vielen Dank

liebe Grüße
Misses Tweety

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

michaL aktiv_icon

16:05 Uhr, 22.11.2012

Hallo,

> Zu a) hab ich bereits die Determinante berechnet[...]

Aha? Die Determinante welcher Matrix? Determinanten gibt es nur(!) bei quadratischen Matrizen!

Mfg Michael

MissesTweety aktiv_icon

16:11 Uhr, 22.11.2012

weiß nicht wie man die hier einschreibt. also ich habe die Vektoren

a, b, c

abwärts hingeschrieben und somit eben nebeneinander und so:

145,033,303,4 - 13

erhalten..die durch komma getrennten Zahlen stehen in den 3er Blöcken untereinander.

michaL aktiv_icon

16:22 Uhr, 22.11.2012

Hallo,

also eine 4x3-Matrix, insbesondere NICHT quadratisch?
Wie berechnet man bei so einer Matrix die Determinante?

Mfg MIchael

MissesTweety aktiv_icon

16:24 Uhr, 22.11.2012

wir haben eine solche Matrix in einer Übung berechnet und dazu die ganz normale Regel angewendet. Aber ich kann das natürlich auch mit Gleichungssystemen lösen. Mir geht es aber vorallem um die Aufgabe mit dem Erzeugendensystem.

MissesTweety aktiv_icon

16:37 Uhr, 22.11.2012

Ich glaube jetzt weiß ich warum Sie da nachgefragt haben......mit dem Gleichungssystem entsteht ein Widerspruch. somit eine lineare Abhängigkeit.

Stimmt das?

michaL aktiv_icon

16:48 Uhr, 22.11.2012

Hallo,

nein, ich habe nachgefragt, weil ich sicher bin, dass man Determinanten nur(!) von quadratischen Matrizen bestimmen kann. Deine ist nicht quadratisch. Du hast aber eine Determinante berechnet. Ergo: du hast etwas berechnet, was keine Bedeutung für deine Matrix hat!

Mfg Michael

MissesTweety aktiv_icon

17:08 Uhr, 22.11.2012

Achso. Okay. Danke. Habe ja jetzt gemerkt, dass es keinen Sinn gemacht hat.

Hoffe mir kann nur jemand bei der

b)

helfen.

mfg
Misses Tweety

michaL aktiv_icon

17:22 Uhr, 22.11.2012

Hallo,

na, ja, der Schlüssel ist für beide Aufgaben das zugehörige lineare Gleichungssystem

k \cdot a + l \cdot b + m \cdot c = 0

Man sieht, dass

k = 1

b = 1

c = - 1

eine (nicht triviale) Lösung des Systems ist. Infolge dessen sind die Vektoren NICHT linear unabhängig.
Offenbar ist der Rang des Systems gleich 2 (je zwei der drei Vektoren sind linear unabhängig).
Du benötigst also noch zwei weitere Vektoren (zu den zwei linear unabhängigen, die du auswählst).
Versuche erst einmal der Einfachheit halber, mit Standardbasisvektoren aufzufüllen. Vorteil: viele Nullen. Eigentlich kann man gar nix falsch machen, außer, zwei gleiche Vektoren zu wählen.

Wenn du nun vier Vektoren hast, kannst du eine quadratische Matrix bilden. Von der ist die Determinante berechenbar. Ist diese gleich Null, hast du die falsche Wahl getroffen.

Mfg Michael

MissesTweety aktiv_icon

22:42 Uhr, 22.11.2012

Achso verstehe....jetzt nur noch eine gaaaanz blöde Frage..wie kommen Sie darauf, dass

k = 1, b = 1, c = - 1

sind. Bin gerade total verwirrt. Wenn ich ein Gleichunssystem aufstelle, dann eine Gleichung davon weglasse, dann kommt bei mir

0 = 0

raus. Kann ja eine weglassen, da ich 3 Unbekannte und 4 Gleichungen habe. Den Rest müsste ich glaube ich nun lösen können.

Dankeschön

=)

mfg
Tweety

michaL aktiv_icon

07:32 Uhr, 23.11.2012

Hallo,

> wie kommen Sie darauf, dass k=1,b=1,c=−1 sind.

Durch Hinschauen und Nachrechnen. Der Aufgabensteller hatte keine Lust, komplizierte Beispiele zu nehmen.

Mfg Michael

MissesTweety aktiv_icon

10:18 Uhr, 23.11.2012

Könnten Sie das bitte mal ausführlich darstellen?

michaL aktiv_icon

10:29 Uhr, 23.11.2012

Hallo,

> Könnten Sie das bitte mal ausführlich darstellen?

ich weiß nicht, was "das" sein soll.

Diese Diskussion nimmt allmählich Loriotsche Züge an. Viel Erfolg weiterhin bei vagen Fragestellungen.

Mfg Michael

MissesTweety aktiv_icon

10:34 Uhr, 23.11.2012

ich kann einfach nicht nachvollziehen wie genau Sie darauf kommen

(k = 1, b = 1,

c=−1). Genau hinsehen kann ich anscheinend nicht und deswegen hätte ich es gerne ausführlich in Schritten oder ihrer Denkweise dargestellt.

anonymous

10:58 Uhr, 23.11.2012

Bezugnehmend auf "schauen"

k \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 3 \\ 4 \end{matrix}) + m \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 3 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix}) + n \cdot (\begin{matrix} 5 \\ 3 \\ 3 \\ 3 \end{matrix}) = 0

Gehe ich die Werte zeilenweise durch, so erkenne ich:

1 + 4 = 5

0 + 3 = 3

3 + 0 = 3

4 + (- 1) = 3

Daraus kann ich Rückschlüsse auf die Werte von

k, m

und

n

ziehen.

anonymous

11:05 Uhr, 23.11.2012

Nachdem diese drei Vektoren NICHT linear unabhängig sind, sollte man noch schnell eine Überprüfung von jeweils 2 Vektoren machen ( eigentlich nicht notwendig ).
Zu ergänzen dann mit

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

oder

(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

oder

...

MissesTweety aktiv_icon

12:28 Uhr, 23.11.2012

Danke ich mach mich dann später gleich nochmal drüber

=)

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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