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Funktion Unterschied bei Schreibweisen

Schüler , 9. Klassenstufe

Tags: Funktion

Felicialie aktiv_icon

18:49 Uhr, 16.03.2016

hallo ich verstehe nicht ganz was der Unterschied ist, wenn man

f (x) =

x² schreibt bzw. ja schon, aber wenn man

z . B

f : A

→

R

schreibt, was bedeutet dieses → und warum schreibt man nicht

f (x)

bei

f :

?

ich weiß, dass

f : x

→

y

f x

wird

y

zugeordnet heißt, aber was bedeutet das?

Danke!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

mihisu aktiv_icon

01:07 Uhr, 17.03.2016

Was ist eine Funktion?
Eine Funktion ist eine spezielle Beziehung zwischen zwei Mengen.

Genauer:
Eine Funktion

f

ist eine Beziehung zwischen zwei Mengen

D

und

Z,

die jedem Element

x \in D

der einen Menge jeweils genau ein Element

y = f (x) \in Z

der anderen Menge zuordnet.

Kurzschreibweise:

f : D \to Z, x \mapsto f (x)

\\\\\

Um nun genauer auf deine Fragen einzugehen:

"wenn man

z . B

f : A \to R

schreibt, was bedeutet dieses"

Wie zuvor geschrieben ist eine Funktion eine Beziehung zwischen zwei Mengen. Die Schreibweise

f : A \to R

gibt dabei an, wie die Funktion heißt (nämlich

f)

und was die beiden Mengen sind, die

f

in Beziehung zueinander setzt. Es ist also eine Kurzschreibweise für:

"

f

ist ein Funktion, die

A

als Definitionsbereich und

R

als Zielbereich hat."

Weiter unten folgen noch Beispiele bei denen das evtl. noch mal klarer wird.

\\\\\

"und warum schreibt man nicht

f (x)

bei

f :

? "

Weil die Funktion nicht

f (x)

heißen soll, sondern

f

heißen soll.

f

bezeichnet dann die Funktion, also die Beziehung zwischen zwei Mengen.

f (x)

bezeichnet hingegen nicht die Funktion, sondern nur den Wert

f (x) \in R

im Zielbereich, den man erhält, wenn man ein

x \in A

des Definitionsbereichs in die Funktion

f

steckt.

Das solltest du auch weiter oben bei "

f : D \to Z, x \mapsto f (x)

" sehen. Das "

f :

" bestimmt den Namen der Funktion.

f (x)

ist hingegen der Wert, den man beim Einsetzen von

x

erhält.

Das führt uns dann zu deiner nächsten Frage

...

\\\\\

"dass

f : x

→

y f x

wird

y

zugeordnet heißt, aber was bedeutet das?"

Man sollte genauer

x \mapsto y

statt

x \to y

schreiben. Beachte den Strich auf der linken Seite des Pfeils.

Das hat den folgenden Hintergrund:
Wie vorher schon erklärt, wir mit "

f : A \to R

" geklärt, wie die Mengen aussehen, zwischen denen

f

eine Beziehung beschreibt. Der Pfeil "

\to

" ist in diesem Kontext also bereits dafür reserviert zu klären, was Definitions- und Zielmenge sind. Um Verwirrungen zu vermeiden benutzt man daher für die Zuordnung der entsprechenden Elemente einen anderen Pfeil "

\mapsto

".

Nun aber zur Bedeutung von "

\mapsto

".
"

x \mapsto y

" ist einfach eine Kurzschreibweise für " dem Element

x

(aus dem Definitionsbereich) wird das Element

y

(aus dem Zielbereich) zugeordnet ".

Dabei bedeutet die Schreibweise "

f : x \mapsto y

" im Grunde nichts anderes als "

f (x) = y

". Man könnte statt
"

f : A \to R, x \mapsto y

"
prinzipiell auch einfach
"

f : A \to R, f (x) = y

"
schreiben.

\\\\\Beispiele:\\\\\

Endlich kommen Beispiele. Die helfen dir (hoffentlich) das ganze besser zu verstehen.

\\Beispiel 1\\

f : {- 2, 3, 2, 0} \to {0, 1, 2, 3, 4, 5, 9, - 7}

Das gibt an, dass

f

eine Funktion von

{- 2, 3, 2, 0}

nach

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 9, - 7}

sein soll. Damit weiß man schon einiges über

f,

aber weiß man nun auch was

f (3)

ist? Nein. Die Funktion ist alleine durch Angabe der Mengen noch nicht festgelegt. Es fehlt noch, wie die Beziehung zwischen den Mengen konkret aussieht.

\\Beispiel 2\\

f : {- 2, 3, 2, 0} \to {0, 1, 2, 3, 4, 5, 9, - 7}, x \mapsto x^{2}

Das würde nun die Funktion

f

vollständig definieren. Man wüsste nun wegen dem zusätzlichen Teil

x \mapsto x^{2},

dass jedem Element

x

des Definitionsbereich das Element

x^{2}

zugeordnet wird. Oder anders ausgedrückt: Für alle

x \in {- 2, 3, 2, 0}

ist

f (x) = x^{2}

. Beispielsweise ist

f (3) = 3^{2} = 9

. Es ist

f (- 2) = 4

und

f (3) = 9

und

f (2) = 4

und

f (0) = 0

.

\\Beispiel 3\\

f : {- 2, 3, 2, 0} \to {0, 1, 2, 3, 4, 5, 9, - 7}, - 2 \mapsto 4, 3 \mapsto 9, 2 \mapsto 4, 0 \mapsto 0

Hier ist

f

eine Funktion von

{- 2, 3, 2, 0}

nach

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 9, - 7}

mit

f (- 2) = 4

und

f (3) = 9

und

f (2) = 4

und

f (0) = 0

.

Moment? Kommt uns das nicht bekannt vor? In Beispiel 2 passiert doch genau das Gleiche! Und tatsächlich. In Beispiel 3 wurde die gleiche Funktion wie in Beispiel 2 definiert. Beide Schreibweisen

f : {- 2, 3, 2, 0} \to {0, 1, 2, 3, 4, 5, 9, - 7}, x \mapsto x^{2}

und

f : {- 2, 3, 2, 0} \to {0, 1, 2, 3, 4, 5, 9, - 7}, - 2 \mapsto 4, 3 \mapsto 9, 2 \mapsto 4, 0 \mapsto 0

definieren die gleiche Funktion

f

.

Auch die äquivalenten Schreibweisen

f : {- 2, 3, 2, 0} \to {0, 1, 2, 3, 4, 5, 9, - 7}, f (x) = x^{2}

bzw.

f : {- 2, 3, 2, 0} \to {0, 1, 2, 3, 4, 5, 9, - 7}, f (- 2) = 4, f (3) = 9, f (2) = 4, f (0) = 0

kann man benutzen.

\\Beispiel 4\\

Wir betrachten nochmal die Funktion

f

aus Beispiel 2. Was wäre

f (1)

?
Ganz einfach:

f (1)

ist nicht definiert, da 1 nicht im Definitionsbereich

{- 2, 3, 2, 0}

enthalten ist.

Jetzt wirst du dir vielleicht denken. Aber warum? Ist denn nicht

f (1) = 1^{2} = 1

?
Nein, das ist nicht der Fall. Der Hintergrund:

Man hätte

f

statt mit der Definition aus Beispiel 2 auch mit der Definition aus Beispiel 3 definieren können. Dann wüsste man nichts von

x \mapsto x^{2},

würde also auch nicht auf

f (1) = 1^{2}

kommen.

Man könnte beispielsweise auch

f : {- 2, 3, 2, 0} \to {0, 1, 2, 3, 4, 5, 9, - 7}, f (x) = x \cdot (x^{3} - 3 \cdot x^{2} - 3 \cdot x + 12)

definieren können. Das wäre auch wieder die gleiche Funktion, da

f (- 2) = 4, f (3) = 9, f (2) = 4, f (0) = 0

.

Aber offensichtlich ist

1 \cdot (1^{3} - 3 \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1 + 12) = 7 \neq 1 = 1^{2}

.

Das führt zum letzten Beispiel.

\\Beispiel 5\\

f (x) = x^{2}

gibt alleine noch keine Funktion an. Es fehlen Definitions- und Zielbereich. Und die können einen erheblichen Unterschied machen.

Beispielsweise sind durch

f_{1} : {- 2, 3, 2, 0} \to {0, 1, 2, 3, 4, 5, 9, - 7}, x \mapsto x^{2}

und

f_{2} : {- 2, 3, 2, 0, 1} \to {0, 1, 2, 3, 4, 5, 9, - 7, 7}, x \mapsto x^{2}

und

f_{3} : {- 2, 3, 2, 0} \to {0, 1, 2, 3, 4, 5, 9, - 7}, x \mapsto x \cdot (x^{3} - 3 \cdot x^{2} - 3 \cdot x + 12)

und

f_{4} : {- 2, 3, 2, 0, 1} \to {0, 1, 2, 3, 4, 5, 9, - 7, 7}, x \mapsto x \cdot (x^{3} - 3 \cdot x^{2} - 3 \cdot x + 12)

verschiedene Funktionen definiert.

Naja nicht ganz verschieden. Wie in Beispiel 4 beschrieben wurde, ist

f_{1} = f_{3}

. Aber alleine durch Änderungen an Definitions- und Zielbereich erhält man andere Funktionen, die sich nicht mehr gleichen: Es ist

f_{2} \neq f_{4},

f_{2} (1) = 7 \neq 1 = f_{4} (1)

ist.

\\\\\

Mit dem durcharbeiten der Beispiele solltest du ein klein wenig Übung im Umgang mit Funktionen bzw. mit den entsprechenden Schreibweisen gehabt haben. Insbesondere wollte ich auch darauf aufmerksam machen (wie hauptsächlich in den letzten Beispielen 4 und

5),

dass zu einer Funktion nicht nur die Abbildungsvorschrift (beispielsweise

f (x) = x^{2}

bzw.

x \mapsto x^{2})

gehört, sondern insbesondere auch Definitions- und Zielbereich wichtige Angaben sind.
Klar: Wenn man eine Beziehung zwischen zwei Mengen betrachtet, sollte man erst einmal die Mengen kennen! Und gerade dazu dient die Schreibweise

f : A \to R,

die bekannt macht: Aha,

f

beschreibt eine Beziehung zwischen den Mengen A und R.

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