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lineare Interpolation

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Tags: Verständnis

Blumenschein aktiv_icon

13:18 Uhr, 22.10.2008

Hallo zusammen,

ich bin auf folgendes Interpolationsproblem gestoßen und komme nicht weiter.

In einem Beispiel für eine Heizlastberechnung heißt gibt es folgende Tabelle:

B' Wert	U-Wert
2	0,24
4	0,24
6	0,22

Ein angenommener Wert von B'=4,45 zieht eine Interpolation nach sich.

Der Autor geht dabei wie folgt vor:

$0, 24 - {\frac{4, 45 - 4}{6 - 4} \times (0, 24 - 0, 22)} = 0, 2355$
für mich übersetze ich die Formel wie folgt:

$g r ö ß e r e r G e s u c h t e r W e r t \times {\frac{g e f u n d e n e r G e g e b e n e r W e r t - k l e i n e r e r G e g e b e n e r W e r t}{g r ö ß e r e r G e g e b e n e r W e r t - k l e i n e r e r G e g e b e n e r W e r t} \times (g r ö ß e r e r G e s u c h t e r W e r t - k l e i n e r e r G e s u c h t e r W e r t)} = E r g e b n i s$

Im Internet gibt es aber für die lineare Interpolation folgende Formel:

$f (x) = f 0 + \frac{f 1 - f 0}{x 1 - x 0} \times (x - x 0)$

Leider kann ich diese Formel nicht für mich übersetzen und suche nach einer praktischen Umsetzung von dieser.

Warum subtrahiert der Autor in der ersten Formel, warum addiert der Autor in der dritten Formel?
Vielen Dank für Hilfe für eine praxisnahe Einführung in lineare Interpolation!

Gruß
--

Blumenschein

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Edddi aktiv_icon

14:12 Uhr, 22.10.2008

Stell dir die Wertepaare

x 0; y 0 = 4; 0,24

und

x 1; y 1 = 6; 0,22

als 2 Punkte im Koordinatensystem vor. Verbinde diese mit einer Linie (siehe Bild).
für einen beliebigen Wert

B

dazwischen kommt folgender Funktionswert raus...einfach mit Verhältnissgleichung:

\frac{y 1 - y 0}{x 1 - x 0} = \frac{h}{B - x 0}

dann ist:

\frac{y 1 - y 0}{x 1 - x 0} \cdot (B - x 0) = h

h

nur den Zuwachs ab

y 0

darstellt gilt für yB:
yB=y0+

\frac{y 1 - y 0}{x 1 - x 0} \cdot (B - x 0)

dies ist dir Formel der linearen Interp.
jetzt machen wir das mal mit deinen Werten:
yB=0,24+

\frac{0,22 - 0,24}{6 - 4} \cdot (4,45 - 4) = 0,2355

Du kannst aber auch eine andere Verhältnisgleichung aufstellen:

\frac{B - x 0}{x 1 - x 0} = \frac{h}{y 0 - y 1}

dieses

h

ist, wenn du es umgestellt hast von

y 0

abzuziehen:

\frac{B - x 0}{x 1 - x 0} \cdot (y 0 - y 1) = h

jetzt hast du die Höhe, welche von

0,24

abgezogen werden muss
yB=y0-

\frac{B - x 0}{x 1 - x 0} \cdot (y 0 - y 1)

dies ist die Formel die du hast, funktioniert genauso.
yB=0,24-

\frac{4,45 - 4}{6 - 4} \cdot (0,24 - 0,22) = 0,2355

Der "Fehler", den die machen ist, das sie

(y 0 - y 1)

rechnen. Normalerweise müsste es

(y 1 - y 0)

heißen. Dann wär der Faktor negativ und könnte so zu

y 0

zuaddiert werden.
Da hier aber

y 1

und

y 0

vertauscht wurde, mußte es abgezogen werden.
Die haben hier also mit den "bildlichen" Beträgen gerechnet.

Mals dir doch mal auf.
Ich hoffe ich war verständlich.

Blumenschein aktiv_icon

14:38 Uhr, 22.10.2008

Vielen Dank,

ich male es nachher mal auf! Melde mich bei Erfolg -und wahrscheinlich auch bei Misserfolg- wieder,

Gruß

--
Blumenschein

Blumenschein aktiv_icon

09:34 Uhr, 27.10.2008

Hallo,
leider habe ich das "h" noch nicht ganz verstanden! Sprich der erste Schritt Deiner Erklärung ist mir nicht klar.
Vielen Dank für weitere Hilfe,
Gruß

- -

Blumenschein

Zu diesem Beitrag wurde eine digitale Zeichnung hinzugefügt:

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Edddi aktiv_icon

10:13 Uhr, 27.10.2008

leíder krieg' ichs nicht gezeichnet, also beschreib ich mal nur:

du hast rechtwinkliges Dreieck

A, B, C

(am besten, du skizzierst es dir auf, unten links ist rechter Winkel)
Koordinate

A (x 0 = 4; y 0 = 0,24)

Koordinate

B (4; y 0 = 0,22)

Koordinate

C (x 1 = 6; y 1 = 0,22)

jetzt ist

y 1 - y 0 =

Strecke AB
jetzt ist

x 1 - x 0 =

Strecke BC

jetzt hast du einen beliebigen Punkt

F

zw.

B

und

C

Zeichne die Senkrechte auf

F

bist du die Strecke AC schneidest. Du erhälst Punkt

G .

Zeichne von Punkt

G

die Horizontale in Richtung Strecke AB, bis du sie im Punkt

H

schneidest.

Jetzt gilt: (Strecke AH)/(Strecke HG)=(Strecke AB)/(Strecke BC)

oder mit

x 0, x 1, y 0, y 1,

und

F

\frac{h}{F - x 0} = \frac{y 1 - y 0}{x 1 - x 0}

dies ist die 1. Ausgangsgleichung
du wirst bemerken, da

y 1 - y 0

negativ ist, das

h

auch negativ ist und vom Betrag her von

y 0

abgezogen werden muss um die Höhe von Punkt

G

zu ermitteln.
In der 1. Gleichung steht:

y 0 + h

(hier wird

h

ja abgezogen, weil negativ)

Die 2. Gleichung nimmt nur andere Teilstrecken, ist aber ansonsten ganz normale Verhältnisgleichung.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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