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lineare Unabhängigkeit von Funktionen

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

sandra0409 aktiv_icon

11:23 Uhr, 19.12.2020

Guten Morgen. Im Bild befindet sich ein Beweis, den ich nicht vollständig verstanden haben. Den Teil, dass LH ein Vektorraum ist, habe ich verstanden. Nun habe ich folgende Fragen zu dem restlichen Beweis.

1. Was genau ist der unterschied zwischen

φ 1, ..., φ k

und

φ 1 (x), ..., φ k (x)

? Für mich ist das alles identisch, wenn ich die Funktionen selbst betrachte, oder die Funktionen in einem bestimmten Funktionswert? Für mich muss man da gar ncihts zeigen.

2. Dann verstehe ich nicht, wieso

φ

als linearkombination der

φ 1, ... φ k

darstellen kann. Nur weil sie linear unabhäängig sind müssen sie doch keine Basis darstellen, sodass man das machen kann.

3. Die Schlussfolgerung verstehe ich auch nicht. Ich verstehe noch, das

φ (x) = 0

sein muss. Aber wieso muss dann

φ

identisch 0 sein und wieso sind

φ 1, ..., φ k

dann linear abhängig?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

16:33 Uhr, 19.12.2020

Hallo,

zu deiner ersten Frage:

Wir nehmen mal irgendeine vektorwertige Funktion her:

φ : x \mapsto (\begin{array}{c} x \\ x^{2} \end{array})

.

Du findest also wirklich, dass das das gleiche ist wie der Vektor

(\begin{array}{c} 2 \\ 4 \end{array})

?

Ich finde, da ist doch ein deutlicher Unterschied.
Selbst wenn es nicht vektorwertig wäre, würde ich doch sagen, dass die Abbildung

f : x \mapsto x^{2}

was anderes ist als eine Zahl wie etwa 4(

= f (2)

).

Dir scheint es konkret um die Beweisrichtung "

i) \Rightarrow ii)

" zu gehen.
Hier ist doch etwas zu zeigen. Es könnte doch sein, dass die

φ_{i} (x_{0})

zwar linear abhängig sind, aber immer mit unterschiedlichen Faktoren

λ_{i}

. Dann wären die

φ_{i}

immer noch linear unabhängig.

Nehmen wir die beiden Funktionen

f_{1}

und

f_{2}

mit

f_{1} (x) := x

und

f_{2} (x) = x^{2}

.
Die beiden Funktionen sind linear unabhängig (über

ℝ

).

Aus

λ, μ \in ℝ

mit

λ x + μ x^{2} = 0

(1),
folgt, dass (1) ja insbesondere für

x = 1

und gleichzeitig auch für

x = 2

gelten müsste, d.h. das LGS

∣ \begin{array}{rcl} λ + μ & = & 0 \\ 2 λ + 4 μ & = & 0 \end{array} ∣

muss beguckt werden.

Das hat aber (Determinante

= 2 \neq 0

) nur eine eindeutige Lösung:

λ = μ = 0

Damit ist gezeigt, dass

f_{1}, f_{2}

linear unabhängig sind.

Es sind aber nicht alle

f_{1} (x_{0}), f_{2} (x_{0})

linear unabhängig. Trivial ist dies etwa für

x_{0} = 0

und für

x_{0} = 1

der Fall.

Hilft dir das weiter?

Mfg Michael

sandra0409 aktiv_icon

11:55 Uhr, 28.12.2020

Tut mir leid, dass ich mich erst jetzt wieder melden kann. Mir ist nun bewusst, dass eine vektorwertige Funktion natürlich was anderes ist, als die vektoreertige Funktion an einer bestimmten Stelle. Dennoch ist mir die Impliktion ii

- \to i

noch unklar. Vielleict könnte mir diese noch jemand erklären?

Au0ßerdem sind meine Fragen 2 und 3 noch offen

DrBoogie aktiv_icon

12:07 Uhr, 28.12.2020

"Dennoch ist mir die Impliktion ii −→i noch unklar. Vielleict könnte mir diese noch jemand erklären?"

Es ist gegeben:

φ_{1} (x_{0}), . . ., φ_{n} (x_{0})

sind linear unabh. für ein bestimmtes

x_{0}

.
Zu zeigen:

φ_{1}, . . ., φ_{n}

sind als Funktionen linear unabh.

Seien

a_{1}, . . ., a_{n}

so, dass

a_{1} φ_{1} + . . . + a_{n} φ_{n} = 0

als lineare Kombination der Funktionen. Das bedeutet per Definition, dass

a_{1} φ_{1} (x) + . . . + a_{n} φ_{n} (x) = 0

in jedem Punkt

x

. Insbesondere ist die Gleichung erfüllt, wenn man

x = x_{0}

nimmt. Also haben

a_{1} φ_{1} (x_{0}) + . . . + a_{n} φ_{n} (x_{0}) = 0

. Wir wissen aber, dass

φ_{1} (x_{0}), . . ., φ_{n} (x_{0})

linear unabh. sind => es folgt

a_{1} = . . . = a_{n} = 0

.
Damit ist bewisen, dass

φ_{1}, . . ., φ_{n}

linear unabh. sind.

DrBoogie aktiv_icon

12:14 Uhr, 28.12.2020

"2. Dann verstehe ich nicht, wieso φ als linearkombination der φ1,...φk darstellen kann. Nur weil sie linear unabhäängig sind müssen sie doch keine Basis darstellen, sodass man das machen kann."

Man nimmt doch keine x-beliebige

φ

in dem Beweis. Man nimmt als

φ

genau die lineare Kombination mit genau den Lambdas, die sich aus der linearen Abhängigkeit ergeben. Daher erübrigt sich die Frage.

"3. Die Schlussfolgerung verstehe ich auch nicht. Ich verstehe noch, das φ(x)=0 sein muss. Aber wieso muss dann φ identisch 0 sein und wieso sind φ1,...,φk dann linear abhängig?"

Da steht doch alles geschrieben. "Wegen Eindeutigkeit der Lösung". Da Konstante

0

definitiv eine Lösung ist, die

φ (x_{0}) = 0

erfüllt, kann es keine andere Lösung mit

φ (x_{0}) = 0

geben. Wegen Eindeutigkeit. Also muss

φ = 0

konstant sein.

"wieso sind φ1,...,φk dann linear abhängig?"

Na per Definition. Es gibt Koeffizienten

λ_{i}

, die nicht alle

0

sind, so dass

λ_{1} φ_{1} + . . . + λ_{n} φ_{n} = 0

gilt. Das bedeutet genau, dass

φ_{1}, . . ., φ_{n}

linear abhängig sind.

sandra0409 aktiv_icon

12:48 Uhr, 28.12.2020

Vielen, vielen Dank. Habe jetzt alles verstanden

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