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lineare algebra: basis / erzeugenden-system
Universität / Fachhochschule
Tags: Lineare Algebra
 
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anonymous 21:21 Uhr, 26.06.2004  |
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sei W := span{f,g] [ = erzeugenden-system, die red. ] mit f = sin x und g = cos x, x element R. a) zeigen sie, dass h = sin(x+phi) und q = cos(x+phi) für alle reellen phi in W liegen. b) ermitteln sie, ob B := {h,q} eine basis von W ist. zu a) ok: ich konnte zeigen, dass f und g linear kombiniert mit lambda1 = cos(phi) und lambda2 = sin(phi) => lambda1 * f + lambda2 * g = sin x cos (phi) + cos x sin (phi) = (nach additionstheorem) sin(x + phi ) , also gleich h. => ich kann h (und nach gleichem schema q) mit dem erzeugenden-system {f,g} darstellen. zu b) wie kann ich zeigen, ob B := {h,q} eine basis von W ist? muss ja zeigen: erzeugenden-system des von {f,g} aufgespannten raumes W (dessen "inhalt" ich nicht genau abzuschätzen weiss). wie kann ich dies tun? sowie lineare unabhängigkeit |
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| Hierzu passend bei OnlineMathe: Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff) Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff) | |
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Hallo acky! Zur linearen Unabhängigkeit: Du musst zeigen, dass c1*sin(x+phi) + c2*cos(x+phi) = 0 (für alle x) nur die triviale Lösung hat. Setzt man in den Sinus für x = -phi, so gilt: c1*sin(-phi+phi) + c2*cos(x+phi) = 0 ==> c2*cos(x+phi) = 0 (für alle x) ==> c2 = 0 ==> c1*sin(x+phi) = 0 (für alle x) mit x = Pi/2 - phi ==> c1*sin(Pi/2) = c1 = 0 ==> c1 = c2 = 0 Also sind die beiden Vektoren h und q linear unabhängig. Jetzt zum Erzeugendensystem. Man muss zeigen, dass für jedes (c1;c2)-Paar ein (c3;c4)-Paar existiert mit: c1*sin(x) + c2*cos(x) = c3*sin(x+phi) + c4*cos(x+phi) (für alle x) Das heißt einfach nur, dass für jedes Element aus span(f,g) auch ein Element aus span(h,q) ist. Mit den Additionstheoremen kannst du die obige Gleichung umformen: <==> c1*sin(x) + c2*cos(x) = c3*cos(x)sin(phi) + c3*cos(phi)sin(x) + c4*cos(x)cos(phi) - c4*sin(x)sin(phi) Die Gleichung stimmt, wenn die folgenden Gleichungen stimmen: <== I c1 = cos(phi)*c3 - sin(phi)*c4 II c2 = sin(phi)*c3 + cos(phi)*c4 Wenn man jetzt (c1;c2) und (c3;c4) als Vektoren im R2 auffasst, dann ist (c1;c2) der um den Ursprung um phi gegen den Uhrzeigensinn gedreht Vektor (c3;c4). Man kann natürlich (c1;c2) wieder zurückdrehen, um (c3;c4) zu erhalten: <== I c3 = cos(-phi)*c1 - sin(-phi)*c2 II c4 = sin(-phi)*c1 - cos(-phi)*c2 Damit kannst du für jedes Element aus span(f,g), was wir mit den Koordinaten (c1;c2) identifizieren, ein Element aus span(h,q) mit den von (c1;c2) abhängigen Koordinaten (c3;c4) finden. Gruß Clemens |
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anonymous 22:25 Uhr, 27.06.2004 |
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supergeile lösung! vielen dank! pädagogisch wertvoll. am ende ein vorzeichenfehler - bei bestimmung von c4. gerade der hat mit noch mal zur herleitung von (c3 , c4) veranlasst. acky freue mich über hilfe, die so geschrieben ist, dass sei auch hilfreich ist! thx |
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