Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » lineare inhomogene DGL 1. Ordnung lösen

lineare inhomogene DGL 1. Ordnung lösen

Schüler Fachgymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Differentialgleichung lösen, Differenzialgleichung lösen

kostja aktiv_icon

00:12 Uhr, 08.09.2011

es geht um die dgl:

y' -

x²

\cdot y +

3x²

= 0

y' -

x²

\cdot y =

-3x²

ich hab die 3x² zunächst rübergebracht und die homogene lösung bestimmt, die auch mit der lösung übereinstimmt

\to

= C \cdot

e^(x³/3)

dann kam die spezielle lösung

\to

= C (x) \cdot

e^(x³/3)
und diese dann abgeleitet zu

\to

Ys'

= C' (x) \cdot

e^(x³/3)

+

x²

\cdot C (x) \cdot

e^(x³/3)

die spezielle lösung und deren ableitung wird anschließend in die zweite gleichung oben eingesetzt, so dass sich die teile mit

C (x)

wegkürzen und folgendes ergebnis bleibt:

C' (x) =

-3x²

\cdot

e^(-x³/3)

jetzt brauche ich für die lösung ( Yallg = Yh

+

Ys ) noch die spezielle lösung, aber

C' (x)

lässt sich wegen der multiplikation nicht so einfach integrieren. ich habe es über die partielle integration versucht und musste diese um das x² rauszubekommen zwei mal anwenden. meine lösung für

C (x) = 3 x + 12

sah auch ganz plausibel aus, aber das würde zu Yallg = 3x²

+ 12 + C \cdot

e^(x³/3) führen. die richtige endlösung soll aber sein: Yallg

= 3 + C \cdot

e^(x³/3)

ich überlege schon die ganze zeit hin und her, aber verstehe nicht wie man auf 3 kommt bei der speziellen lösung. in der zweiten runde der partiellen integration hatte ich dann solche terme:

ln x \cdot

e^(-x³/3). was würde das ergeben?

\frac{x^{4}}{3}

?
übersehe ich vorher schon eine einfache substitutionsmöglichkeit?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

CKims aktiv_icon

00:36 Uhr, 08.09.2011

deine partielle integration ist nicht korrekt...

lieber bei

\int - 3 x^{2} e^{- \frac{x^{3}}{3}} d x

integration durch substitutiona anwenden mit

z = - \frac{x^{3}}{3}

\frac{d z}{d x} = - x^{2}

\frac{d z}{- x^{2}} = d x

das ergibt

\int - 3 x^{2} e^{z} \frac{d z}{- x^{2}}

3 \int e^{z} d z

3 e^{z}

ruecksubstitution

C (x) = 3 e^{- \frac{x^{3}}{3}}

kostja aktiv_icon

00:48 Uhr, 08.09.2011

danke für die schnelle antwort. man sollte also zunächst immer erst schauen, ob eine substitution möglich ist und wenn nicht partiell integrieren?

mich ärgert es noch, dass die partielle integration nicht geklappt hat.

könntest du mir noch erklären, was der folgende term ergeben würde?

ln x \cdot

e^(-x³/3) =

CKims aktiv_icon

01:00 Uhr, 08.09.2011

"man sollte also zunächst immer erst schauen, ob eine substitution möglich ist und wenn nicht partiell integrieren?"

beim integrieren gibt es keine festen regeln... leider hat das noch kein mathematiker hingekriegt... man muss das einfach ueben bis man ein auge dafuer entwickelt hat. manchmal klappen beide verfahren, manchmal nur eines davon, manchmal muss man ganz anders vorgehen und manchmal gehts gar nicht...

den term den du da integrieren moechtest gehoert zu der klasse geht nicht. zumindest nicht geschlossen. das bedeutet dass man das hoechstens ueber ganz komplizierte näherungsverfahren/unendliche reihen angeben kann. fazit: partiell integrieren ist hier ueberhaupt nicht angebracht.

lg

kostja aktiv_icon

01:32 Uhr, 08.09.2011

den term möchte ich nicht integrieren. ich will bloß die lösung der multiplikation wissen. verschwinden

e

und die umkehrfunktion

ln

einfach und man multipliziert bloß

x

mit x³/3, oder was?

CKims aktiv_icon

13:20 Uhr, 08.09.2011

das kann man nicht weiter vereinfachen...

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

914777

914738

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?