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lineare (un)abhängigkeit von vektoren im R3

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Lineare Unabhängigkeit

Tags: Lineare Unabhängigkeit

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11:49 Uhr, 03.11.2010

die aufgabe lautet:

Überprüfen sie ob die folgenden vektoren linear abhängig oder unabhängig sind

(1,2,0)

und

(1,1,1)

und

(0,1,1)

meiner meinung nach löse ich die aufgabe folgender maßen
ich suche grundsätzlich in der form

(0,0,0) = a \cdot (1,2,0) + b \cdot (1,1,1) + c \cdot (0,1,1)

nach

a, b

und

c

wenn mir dann rauskommt dass

a = b = c = 0

kann ich sagen dass die drei vektoren linear unabhängig sind habe ich das richtig verstanden oder ist das nicht so einfach?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Shipwater aktiv_icon

11:54 Uhr, 03.11.2010

Hallo,

ich nehme an du meinst das richtige:

Drei Vektoren $\vec{a}, \vec{b}$ und $\vec{c}$ sind linear unabhängig, wenn die Gleichung $r \vec{a} + s \vec{b} + t \vec{c} = \vec{0}$ nur die Triviallösung $r = s = t = 0$ besitzt.

Gruß Shipwater

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11:59 Uhr, 03.11.2010

ja richtig genau das meine ich aber was genau bedeutet NUR die triviallösung besitzt
was kann/soll ich noch prüfen bzw welche lösung kann es denn noch geben und wie komm ich zu der?

Shipwater aktiv_icon

12:01 Uhr, 03.11.2010

Na wenn

r = s = t = 0

ist die Gleichung immer erfüllt. Egal ob die Vektoren linear unabängig oder linear abhängig sind. Wenn es aber nur diese Triviallösung gibt, sind die Vektoren linear unabhängig und wenn es weitere Lösungen gibt linear abhängig.

Gruß Shipwater

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12:03 Uhr, 03.11.2010

ja das verstehe ich aber ich verstehe nicht was ich rechnen muss um eventuell auf weitere lösungen als nur

a = b = c = 0

zu kommen?

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12:05 Uhr, 03.11.2010

r \vec{a} + s \vec{b} + t \vec{c} = \vec{0}

führt dich ja zu einem linearen Gleichungssystem. Dieses musst du lösen.

Gruß Shipwater

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12:10 Uhr, 03.11.2010

ok und wenn mir da nur die eine lösung also

a = b = c = 0

oder welche variablen auch immer ich nehme sinds unabhängig und wenn mir

z . b

. rauskommt

a = 1

und

b = c = 0

dann sinds linear abhängig korrekt?!

Shipwater aktiv_icon

12:16 Uhr, 03.11.2010

Wenn ich mich recht erinnere wirst du entweder nur die Triviallösung

r = s = t = 0

erhalten oder unendlich viele Lösungen.
Nehmen wir zum Beispiel die drei Vektoren:

\vec{a} = (\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})

\vec{b} = (\begin{matrix} 13 \\ - 2 \\ - 7 \end{matrix})

\vec{c} = (\begin{matrix} - 2 \\ 4 \\ 5 \end{matrix})

Das aufgestellte Gleichungssystem lautet:

0 = 3 r + 13 s - 2 t

0 = 2 r - 2 s + 4 t

0 = r - 7 s + 5 t

Die Lösungen davon sind nun:

r = - 3 μ

s = μ

mit

μ \in ℝ

t = 2 μ

Es gibt also unendlich viele Lösungen, folglich sind die drei Vektoren linear abhängig. Wenn du

μ = 0

wählst erhältst du die Triviallösung

r = s = t = 0

. Du kannst

μ

aber auch beliebig anders aus

ℝ

wählen und erhältst dann beliebig viele andere Lösungen. Es gibt also bei weitem nicht nur die Triviallösung.

Gruß Shipwater

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12:22 Uhr, 03.11.2010

ich denke jetzt hab ichs gepeilt vielen dank

Shipwater aktiv_icon

12:32 Uhr, 03.11.2010

Gern geschehen. Deine drei genannten Vektoren sind übrigens linear unabhängig.

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