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lineares Optimieren

Universität / Fachhochschule

Kombinatorische Optimierung

angewandte lineare Algebra

Tags: Textaufgabe

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12:50 Uhr, 01.07.2010

Ich habe hier eine Aufgabe wo ich richtig hänge:
Ein Bäcker hat als einzigen Abnehmer ein Krankenhaus. Sie bekommt wöchentlich 1200kg Brötchen, 2400kg Graubrot und 800kg Weißbrot.
Der Bäcker besitz 2 Bäckereien mit folgenden Kapazitäten:
Bäckerei 1: 600kg Brötchen, 400kg Graubrot, 200kg Weißbrot
Bäckerei 2: 200kg Brötchen, 1200kg Graubrot, 200kg Weißbrot

Produktionskosten enstehen pro Tag:
Bäckerei1: 2000€
Bäckerei2: 1600€

Gesucht ist die kostengünstigste Kombination an Tagen der beiden Bäckereien um die gewünschte Menge zu produzieren.

a .)

Zielfunktion und Nebenbedingungen aufstellen

b .)

Randgeraden aufstellen und Planungsviereck zeichnen, Zielfunktion mit einzeichnen
zeichnerisch die optimalste Lösung bestimmen

c .)

Wie hoch sind die minimalen wöchentlichen Produktionskosten?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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15:53 Uhr, 02.07.2010

Ich habe rund

25

Jahre keine lineare Optimierung mehr gemacht. Schau mer mal, was noch geht.

Zielfunktion:

2000 x_{1} + 1600 x_{2} \to min

.
Nebenbedingungen:

600 x_{1} + 200 x_{2} \geq 1200

400 x_{1} + 1200 x_{2} \geq 2400

200 x_{1} + 200 x_{2} \geq 800

Wegen der Minimierung in der Zielfunktion muss dann das primale Problem formuliert werden:

1200 y_{1} + 2400 y_{2} + 800 y_{3} \to max

600 y_{1} + 400 y_{2} + 200 y_{3} = 2000

200 y_{1} + 1200 y_{2} + 200 y_{3} = 1600

y_{1}, y_{2}, y_{3} \geq 0

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10:18 Uhr, 03.07.2010

Erstmal vielen Dank für die Hilfe, eine Frage stellt sich da nur wieder: Wie bilde ich mit 3 Unbekannten die Randgeraden und wie zeichne ich es dan ins Koordinatensystem ein?

LG Dani

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14:00 Uhr, 03.07.2010

Ich sage ja, es ist ewig her, dass ich das gemacht habe. Aber wenn ich mich recht erinnere, kann man das Minimierungsproblem direkt graphisch lösen, nur beim Rechnen braucht man das primale Problem.

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14:07 Uhr, 03.07.2010

OK, und hast Du graphisch eine Idee?

LG

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14:18 Uhr, 03.07.2010

Du hast ja drei Nebenbedingungen, die du in ein Koordinatensystem einzeichnen musst.
Du hast nach rechts die x_1-Achse und nach oben die x_2-Achse. Bei mir ist jetzt einfach eine Einheit=100. Die erste Nebenbedingung zeichnest du ein, indem du durch die Punkte

(200 | 0)

und

(0 | 600)

eine Gerade legst. Die zweite geht durch

(1200 | 0)

und

(0 | 4)

. Dann hast du einen Schnittpunkt der beiden Geraden, durch den du die Gerade für die dritte Nebenbedingungen legen musst, wobei die Steigung

- 1

ist. Bei mir geht das durch

(450 | 0)

und

(0 | 450)

. Ob das genau stimmt, weiß ich nicht. Und die Zielfunktion hat sie Steigung

- \frac{10}{8},

geht also

z . B

. durch

(800 | 0)

und

(0 | 1000),

kann aber dann beliebig verschoben werden, bis sie durch den Schnittpunkt der Nebenbedingungen geht.

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13:09 Uhr, 04.07.2010

Ich habe es so gemacht. Sieht erstmal super aus.

Vielen Dank nochmal LG Dani

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08:52 Uhr, 05.07.2010

Hallo magix,

ich habe da doch noch Fragen.
1. Wie kommst Du auf die Steigung von

- 1

2. wie kommst Du bei der Zielfunktion auf die Steigung

- 108

? Was meinst Du mit beliebig verschieben?

LG Dani

magix aktiv_icon

10:47 Uhr, 05.07.2010

Auf die Steigung

- 1

komme ich, weil ich das Ganze umformen kann in

200 x_{2} \geq 800 - 200 x_{1} | : 200

x_{2} \geq 4 - x_{1}

Und daraus kannst du die Steigung

- 1

ablesen. Wäre die Nebenbedingung nicht als Ungleichung, sondern als Gleichung gegeben, dann würde die Gerade durch

(0 | 4)

und

(4 | 0)

gehen. Sie kann aber eben wegen dem

\geq

auch weiter nach rechts und oben parallel verschoben werden, bis sie auf den Schnittpunkt der anderen Geraden trifft.

Bei dem

- \frac{10}{8}

kannst du wohl meinen Bruchstrich nicht richtig lesen. Das heißt

- 10

geteilt durch 8. Schau mal hier in die Hilfefunktion. Dort steht, was du tun musst, damit sowas bei dir richtig angezeigt wird. Das kann nämlich auf die Dauer zu üblen Missverständnissen führen.

Mit beliebig verschieben meine ich, dass man sie parallel verschieben kann,

d . h

. die Steigung wird beibehalten, aber die Zielfunktion hat andere Achsenschnittpunkte. Man verschiebt sie ebenfalls so lange, bis sie durch den Schnittpunkt der Nebenbedingungen geht.

Gruß Magix

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11:08 Uhr, 05.07.2010

Ok, dann probiere ich das noch einmal. Aber um Randgeraden zu setzen muss ich doch aus Ungleichungen Gleichungen machen, oder?

Gru Dani

magix aktiv_icon

11:20 Uhr, 05.07.2010

Hab ich ja bei den beiden ersten auch gemacht. Aber man kann halt leider nicht erwarten, dass sich immer für alle drei Randgeraden ein einziger Schnittpunkt findet.

Praktisch gesehen bedeutet das eben, dass man leider nicht immer exakt so viel produzieren kann, wie man bräuchte, sondern manchmal eine Überproduktion in Kauf nehmen muss.

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13:33 Uhr, 05.07.2010

Vielen Dank für Deine Hilfe

LG

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