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lineares / expotenzielles Wachstum

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

Tags: Exponentielles Wachstum, Lineares Wachstum

Smilla aktiv_icon

19:40 Uhr, 29.01.2009

Bitte helft mir! Ich muss morgen ein Referat in Mathe halten, und finde keinen lösungsweg für diese Aufgabe!!!

Eine Biologin stellt fest, dass sich besonders an warmen Tagen die Essigfliegen extrem stark vermehren. Sie interessiert sich dafür, welche Art von Wachstum vorhanden sein könnte.
Ihre zur Verfügung stehenden Daten sind
nach drei Tagen

221

Fliegen
nach

19

Tagen

605

Fliegen
Berechnet die Anzahl an Fliegen nach

30

Tagen, wenn man einmal lineares Wachstum und einmal exponentielles Wachstum zu Grunde legt!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentielles Wachstum (Mathematischer Grundbegriff)

loft11 aktiv_icon

21:17 Uhr, 29.01.2009

Für das lineare Wachstum heißt die allgemeine Formel

B (t) = B (0) + m \cdot t

m

ist die Änderungsrate und

t

der variable Zeitpunkt, das heißt, man kann für

t

einen beliebigen Zeitpunkt einsetzen.

Bei dieser Aufgabe haben wir den Anfangsbestand

B (0)

nicht gegeben, aber dafür die Momentanbestände zu den Zeitpunkten 3 und

19

. Aus diesen Infos kann man ganz einfach die Änderungsrate

m

berechnen und anschließend den Anfangsbestand und damit auch den Bestand bei

30

.

Formel:

m = \frac{Δ B}{Δ t} \Rightarrow m = \frac{B (19) - B (3)}{19 - 3} = \frac{605 - 221}{19 - 3} = 24

diese Änderungsrate wird in die allgemeine Formel eingesetzt:

B (t) = 24 \cdot t + B (0)

um jetzt

B (0)

auszurechnen, muss man einfach für

B (t)

entweder den Wert von

B (3) = 221

oder

B (19) = 605

einsetzen:

Ich mache es hier mit

B (19) = 605

605 = 24 \cdot 19 + B (0)

605 = 456 + B (0)

149 = B (0)

so, das setzen wir wieder in die allgemeine Formel ein:

B (t) = 24 \cdot t + 149

jetzt für

t 30

einsetzen:

B (30) = 24 \cdot 30 + 149 = 869

\Rightarrow

nach

30

Tagen sind es

869

Essigfliegen

loft11 aktiv_icon

21:34 Uhr, 29.01.2009

Zum exponentiellen Wachstum:

Hier ist die Frage, ob man den Anfangsbestand benutzen darf, den man vorher beim linearen Wachstum ausgerechnet hat. streng genommen wäre das mathematisch falsch. aber ich muss nochmal überlegen, vllt fällt mir noch was ein.
hat dein/e Lehrer/in dir was genaueres gesagt dazu?

;

loft11 aktiv_icon

22:37 Uhr, 29.01.2009

Okay, ich habe die Lösung:

Als erstes bildet man mit den abgegebenen Beständen

B (3)

und

B (19)

die exponentielle Wachstumsformel:

221 = B (0) \cdot a^{3}

und

605 = B (0) \cdot a^{19}

Jetzt löst man die erste Gleichung mit

221

nach a auf:

man erhält

a = \frac{\sqrt[19]{605}}{\sqrt[19]{B (0)}}

Bei der anderen Gleichung erhält man:

a = \frac{\sqrt[3]{221}}{\sqrt[3]{B (0)}}

jetzt setzt man beide

a' s

gleich und bekommt:

\frac{\sqrt[19]{605}}{\sqrt[19]{B (0)}} = \frac{\sqrt[3]{221}}{\sqrt[3]{B (0)}}

Umformen ergibt:

\frac{\sqrt[19]{605}}{\sqrt[3]{221}} = \frac{\sqrt[19]{B (0)}}{\sqrt[3]{B (0)}}

\Rightarrow 0,232 \approx \frac{\sqrt[19]{B (0)}}{\sqrt[3]{B (0)}} = \frac{B {(0)}^{\frac{1}{19}}}{B {(0)}^{\frac{1}{3}}} = B {(0)}^{(\frac{1}{19} - \frac{1}{3})} = B {(0)}^{- \frac{16}{57}} = \frac{1}{B {(0)}^{\frac{16}{57}}}

So jetzt haben wir erstmal

0,232 = \frac{1}{B {(0)}^{\frac{16}{57}}}

jetzt multiplizieren mit

\frac{1}{B {(0)}^{\frac{16}{57}}}

0,232 \cdot \frac{1}{B {(0)}^{\frac{16}{57}}} = 1

jetzt durch

0,232

B {(0)}^{\frac{16}{57}} \approx 4,3103

jetzt die linke seite, also die

4,3103

hoch

\frac{57}{16},

um endlich

B (0)

auszurechnen:

{4,3103}^{\frac{57}{16}} \approx 182

Das ist der Anfangsbestand.

Jetzt muss der nur noch eingesetzt werden, um den Wachstumsfaktor a auszurechnen:

605 = 182 \cdot a^{19}

\frac{605}{182} = a^{19}

log (\frac{605}{182}) = log (a^{19})

log (\frac{605}{182}) = 19 \cdot log (a)

0,522 \approx 19 \cdot log (a)

\frac{0,522}{19} \approx log (a)

0,0275 \approx log (a)

\Rightarrow 10^{0,0275} = a \approx 1.0653

So, jetzt haben wir endlich alles, was wir zur Lösung brauchen, nämlich

B (0)

und

a

.

Jetzt: Einsetzen!

B (t) = 182 \cdot {1,0653}^{t}

B (3) = 182 \cdot {1,0653}^{3} \approx 220

(kleine Abweichung, weil ich vorher öfter mal gerundet hab)

B (19) = 182 \cdot {1,0653}^{19} \approx 605

(hier ist der Wert schon genauer ;-))

So, hier endlich die Lösung :-D)

B (30) = 182 \cdot {1,0653}^{30} \approx 1214

Also sind bei exp. Wachstum

1214

Fliegen da! Etwas mehr als beim linearen Wachstum :-D)

Ich hoffe, dass das dir irgendwie hilft
;
lg

J

xavi22 aktiv_icon

22:44 Uhr, 29.01.2009

was wenn man die

221

fliegen vom 3 tag als anfangswert nimt
und die

605

fliegen vom

19

tag als endwert nimt
dass alles über einem zeitraum von

16

tagen

(19 - 3)

dass alles dann schön in die formel einsetzen

oder seid ihr da anderer meinung??

xavi22 aktiv_icon

23:27 Uhr, 29.01.2009

die lösung

wir berechnen zuerst den wachstumsfaktor a
mit folgenden werten
endkapital

605 (19

tag)
anfangskapital

221 (3

tag)
zeitraum

16

tage

(19 - 3)

wir setzen ein und haben

605 = 221 \cdot a^{16}

nun lösen wir die gleichung auf und erhalten für

a = 1,064965 . .

. hier darf gerundet werden

nun haben wir die müglichkeit den wert für den tag 0 zu berechnen und dann den wert am

30

tag (bsp

1)

oder direkt den wert für den

30

tag (bsp

2)

bsp 1
wir nehmen als endwert den wert am 3. tag
als anfangswert

B (0)

unseren wachstumsfaktor

a = 1,065

(gerundet!)
und den zeitraum 3 tage

so haben wir

221 = B (0) \cdot {1,065}^{3}

nach lösen der gleichung erhalten wir

182,95 ... = B (0)

hier runden wir auf

183

(den es gibt keine

. .,9

fliegen ;-))

nun hast du

B (0)

wachstumsfaktor und zeit einfach in die formel einsetzen und die gleichung lösen und fertig biste

bsp 2

hier nimmst du den wert des 3. tages als dein anfangswert
gegeben ist noch wachstumsfaktor

a = 1,065

und die zeit

27

tage (die lässt sich schnell ermitteln

30 - 3 = 27)

nun die werte einsetzen und man erhält

B (30) = 221 \cdot {1,065}^{27}

jetzt wieder die gleichung lösen und fertig biste (wichtig ist dass du am ende auf eine ganze zahl rundest)

loft11 aktiv_icon

18:18 Uhr, 30.01.2009

da muss ich mich tatsächlich fragen, wieso ich das alles so kompliziert geschrieben habe ;-)
naja, bin ja noch kein student :-P) aber meine Lösung müsste doch trotzdem stimmen oder? nur der lösungsweg war halt länger...
lg J.

xavi22 aktiv_icon

21:31 Uhr, 30.01.2009

w

xavi22 aktiv_icon

21:10 Uhr, 03.02.2009

war die lösung richtig??

xavi22 aktiv_icon

16:15 Uhr, 08.02.2009

q

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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