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ln Probleme und x umstellen

Schüler Gymnasiale Oberstufe,

Tags: ln-Funktion, x ausrechnen

garnelenee aktiv_icon

22:10 Uhr, 14.03.2023

Zwei Probleme:
1. Problem: Wie komme ich hier weiter:

\frac{10}{x} + x = 7

Muss halt

x

rausbekommen...

2. Problem:

0 = ln (x - 2) - 0,5 x + 1,5

Muss beweisen, dass eine Nullstelle drei ist, aber komme ab einer Stelle nicht weiter...

Achso noch ne Frage hatte in dem zweiten Problem einmal:

e^{- 1,5} = e^{ln (x - 2) - 0.5 x}

raus und kann ich dort jetzt auch einfach

ln

und

e

auflösen oder geht das nicht weil noch

- 0,5 x

in der Potenz drinsteht? Also kommt dann das raus:

e^{- 1,5} = x - 2 - 0,5 x

oder nicht?

Danke an alle die Antworten haben :-D)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
ln-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

e-Funktion
ln-Funktion

Roman-22

23:03 Uhr, 14.03.2023

1)

Wie wäre es denn, die Gleichung beidseits mit

x

zu multiplizieren?
Dann alles auf eine Seite bringen und die entstehende quadratische Gleichung lösen.

ad

2)

Du sollst die Gleichung ja nicht lösen (das wäre problematisch), sondern nur zeigen, dass die vorgegebene Zahl 3 eine Lösung ist.
Also einfach für

x = 3

einsetzen und wenn du Glück hast, kommt dir beim Rechtsterm Null raus.

Quadratsepp aktiv_icon

23:03 Uhr, 14.03.2023

Hey:

bei 1: mit

x

durchmultiplzieren, damit das

x

aus dem Nenner rauskommt. Dann erhältst du eine gemischt Quadratische Gleichung, welche dann mit bevorzugtem Verfahren aufzulösen ist.

mein Gedanke bei

2 :

Ich hab das nicht gerechnet aber: der

ln

hat die Nullstelle bei

ln (1)

. Was muss ich einsetzen, damit ich bei

ln (x - 2)

die Zahl 1 im

ln

als Ergebnis erhalte?
Die

(3) : ln (3 - 2) = 1 =

Nullstelle

Ob der Vorgang wirklich stimmt? Roman wirds gleich sagen. :-D)

Edit: habs versucht zu berechnen;
1. da kommt eine Lösung heraus die so nicht stimmt

(x = 2)

. warum?
2. Die Funktion hat gar zwei Nullstellen (geogebra), bei einer Gleichung mit nur einem

x^{1}

.
Dachte für zwei Nullstellen benötigt man

x^{2}

garnelenee aktiv_icon

01:26 Uhr, 15.03.2023

Jo danke hat alle meine Fragen beantwortet

HAL9000 aktiv_icon

10:00 Uhr, 15.03.2023

Eine Anmerkung zu Fragen wie 2.:

Wie gesehen weist man eine Nullstelle einfach durch simple Probe nach, d.h. Einsetzen und Überprüfen, ob es wirklich Nullstelle ist. Problematischer ist in solchen Fällen, wenn darüber hinausgehend auch nachgewiesen werden soll, dass es die einzige Nullstelle ist - da muss man bei solchen komplizierten Funktionen andere Kniffe anwenden.

Im vorliegenden Fall stimmt es auch gar nicht:

f (x) = \ln (x - 2) - 0, 5 x + 1, 5

besitzt im Definitionsbereich

(2, \infty)

neben

x_{1} = 3

noch eine weitere Nullstelle

x_{2} \in (5; 6)

, wie man mit ZWS nachweisen kann. Weitere Nullstellen gibt es aber nicht, was man anhand des Monotonieverhaltens der Funktion

f

begründen kann.

calc007

10:56 Uhr, 15.03.2023

"...und kann ich dort jetzt auch einfach

. .

. oder geht das nicht..."
Nein, das geht nicht. Das ist grobe Verunstaltung bzw. Verletzung jedwelcher Regeln.
Es gilt:

e^{ln (x - 2) - 0,5 \cdot x} = e^{ln (x - 2)} \cdot e^{- 0,5 \cdot x} = (x - 2) \cdot e^{- 0,5 \cdot x}

Aber auf dem Weg machst du es nur komplizierter, und Aussicht auf wirklich explizite Lösung der Gleichung besteht - wie gesagt - nicht.

HAL9000 aktiv_icon

14:22 Uhr, 15.03.2023

> Aussicht auf wirklich explizite Lösung der Gleichung besteht - wie gesagt - nicht.

Zumindest nicht mit den Mitteln, die einem Schüler gewöhnlich zur Verfügung stehen. Mit einem CAS und den dort verfügbaren Funktion(en) LambertW ist schon noch was drin.

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