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ln gegen Unendlich

Schüler

Tags: wer gewinnt?

Quadratsepp aktiv_icon

23:20 Uhr, 04.12.2022

Hallo Logikfreunde,

www.abiturloesung.de/abitur/2018/Infinitesimalrechnung/I/5293

Die oben verlinkte Aufgabe (inkl. Lösung) verlangt, die 1. Ableitung gegen Unendlich laufen zu lassen.

Im Anhang meine Lösung.

Wie zu erkennen ist, divergieren die beiden Ansätze.

Lasst mich raten:

Mein Ansatz ist falsch, weil der

ln

"stärker" als

\frac{4}{x}

ist und somit das Ergebnis (bei mir) "Unendlich" sein müsste?

Respon

23:56 Uhr, 04.12.2022

\to

" weil der

ln

"stärker" als

\frac{4}{x}

ist "
???

lim_{x \to \infty} \frac{4}{x} \cdot ln (x) = 0

Wo genau liegt dein Problem ?

Kartoffelchipsman aktiv_icon

00:40 Uhr, 05.12.2022

Quadratsepp,

ein Klassiker ist

x^{\frac{1}{x}} \to 1 (x \to \infty),

Beweise dafür dürften sich auftreiben lassen

(meist zunächst auf den Natürlichen, also

n^{\frac{1}{n}} \to 1 (n \to \infty),

sprich " n-te Wurzel von

n

geht gegen 1 für

n

gegen unendlich" ).

Damit gelingt hier

\frac{4}{x} \cdot ln (x) = 4 \cdot \frac{1}{x} \cdot ln (x) = 4 \cdot ln (x^{\frac{1}{x}}) \to 0 (x \to \infty)

.

Deinen Link hab ich übrigens wieder nicht besucht,

ich beziehe mich schlicht auf den von Dir angegebenen Term...

walbus aktiv_icon

05:54 Uhr, 05.12.2022

\frac{4 \cdot ln x}{x}

mit L'Hospital:

\frac{4 \cdot \frac{1}{x}}{1} = \frac{4}{x} \to lim = 0

für

x \to \infty

HAL9000

09:50 Uhr, 05.12.2022

@Quadratsepp

Das Wachstumsverhalten von ein paar Grundfunktionen sollte man sich ein für allemal klarmachen und dann am besten níe wieder vergessen:

1) Exponentialfunktionen

x \mapsto a^{x}

mit

a > 1

wachsen für

x \to \infty

grundsätzlich schneller als JEDE Potenzfunktion

x \mapsto x^{n}

. In Formeln:

lim_{x \to \infty} \frac{a^{x}}{x^{n}} = \infty

oder umgedreht

lim_{x \to \infty} \frac{x^{n}}{a^{x}} = 0

.

2) Dasselbe in grün für Logarithmen: Potenzfunktion

x \mapsto x^{α}

mit

α > 0

wachsen für

x \to \infty

grundsätzlich schneller als JEDE Logarithmusfunktion

x \mapsto \log_{b} (x)

mit

b > 1

. In Formeln:

lim_{x \to \infty} \frac{x^{α}}{\log_{b} (x)} = \infty

oder umgedreht

lim_{x \to \infty} \frac{\log_{b} (x)}{x^{α}} = 0

Quadratsepp aktiv_icon

22:11 Uhr, 06.12.2022

HAL9000,

deine Ausführung kommt am ehesten meinem Gedanken nahe.

Wenn ich dich richtig verstehe, dann kann hier folgende Hierarchie gelten:

ln x

x^{n}

e^{x}

Die jeweils nachfolgende Funktion, dominiert die jeweils vorhergehende, right?

(e^{x}

sticht

x^{n}, x^{n}

sticht

ln x)

HAL9000

09:16 Uhr, 07.12.2022

Für

x \to \infty

ist das so, ja.

Quadratsepp aktiv_icon

19:35 Uhr, 09.12.2022

Danke an alle. :-)

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