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lösungsmengen vergleichen

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Tags: Lineare Algebra

 
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anonymous

anonymous

23:09 Uhr, 05.09.2005

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ich wollte fragen ob mir hier vielleicht einer helfen kann. und zwar soll ich die lösungsmengen eines unterbestimmten liniearen gleichungssystem vergleichen.
wie stelle ich das an:????
L 1 = { ( p ; - 0 , 55 p + 0 , 55 q - 0 , 85 r - s + 0 , 6 ; q ; 1 , 7 p + 1 , 3 q + 1 , 9 r - 2 s - 4 , 4 ; r ; s )                                                           p   ; q ; r ; s ∈ ℝ } L 2 = { ( a ; 11 b ; a + 20 b + 17 c + 20 d - 12 11 ; 3 a + 26 b + 43 c + 4 d - 64 11 ; 11 c ; 11 d )                                                               a ; b ; c ; d ∈ ℝ }
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Paulus

Paulus

09:04 Uhr, 06.09.2005

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Hallo Thommy



Mache einfach folgende Überlegung: wenn das die Lösungsmengen eines Gleichungssystems sein sollen, dann müssten sie übereinstimmen. Und das ist zu prüfen. Es müsste also jeder Lösungsvektor aus L1 auch in L2 liegen (oder umgekehrt).



Somit kann man für a,b,c,d sich beliebige Werte vorgegeben vorstellen, und müsste dann die dazugehörigen p,q,r,s eindeutig bestimmen können.



Stelle also einfach ein Gleichungssystem mit den Unbekannten p,q,r und s auf und untersuche, ob dieses eindeutig lösbar ist.



Die einzelnen Gleichungen entstehen einfach aus dem Vergleich der einzelnen Komponenten. Also:



p = a (1. Komponente)

q = a + 20b + 17c + 20d - 12/11 (3. Komponente)

r = 11c (5. Komponente)

s = 11d (6. Komponente)

-11/20 p + 11/20 q -17/20 r -s = 11b - 3/5 (2. Komponente)

17/10 p + 13/10 q + 19/10 r -2s = 3a + 26b + 43c + 4d -78/55 (4. Komponente)





Vielleicht ist es hilfreich, die beiden letzten Gleichungen mit 20 resp. mit 10 zu multiplizieren, dann ergibt sich folgendes Gleichungssystem:



p = a

q = a + 20b + 17c + 20d - 12/11

r = 11c

s = 11d

-11p + 11q -17r -20s = 220b - 12

17p + 13q + 19r -20s = 30a + 260b + 430c + 40d -156/11



Jetzt kannst du einfach die Werte der oberen vier Gleichungen bei den unteren zwei Gleichungen einsetzen. Nach meiner Rechnung ergibt sich kein Widerspruch, die Lösungsmengen sind also gleich!



Viele Grüsse



Paul
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