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Schüler Gesamtschule, 12. Klassenstufe

Tags: Ich benötige den Lösungsweg

anonymous

17:47 Uhr, 17.12.2010

Gegeben ist die Funktionenschar Fk mit Fk(x)=

\frac{1}{k} \cdot

lnx,

k > 0

a)

Bestimme die Gleichung der tangenten tk und der zugehörigen Normalen nk an den Graphen von fk, im Punkt

P (1) (0)

b)

Für welches

k

hat das von der Normalen nk, der Tangente tk und der 2.Achse begrenzte Dreieck minimalen Flächeninhalt?

ALSO aufgabe

a)

habe ich schon berechnet Tangente

\frac{1}{k} \cdot x - \frac{1}{k}

UND nk: y=-kx+k

anonymous

18:19 Uhr, 17.12.2010

ansatz: formel für den flächeninhalt aufstellen und dann das minimum bezüglich k suchen.

Das Dreieck besteht aus 2 rechwinkligen Dreiecken, einmal das unter der x-achse und einmal das darüber.

beide teilen sich die seite der länge 1 (abstand von 0,0 zu 1,0) das obere dreieck hat die andere seite

k

und das untere die seite der länge

\frac{1}{k}

. also ist der flächeninhalt des gesamten dreiecks

A = \frac{1}{2} \cdot (k + \frac{1}{k})

\frac{d A}{d k} = \frac{1}{2} \cdot (1 - \frac{1}{k^{2}})

notwendige bedingung für extrema: 1. ableitung = 0

daraus folgt dann

k = \pm 1

für

k = - 1

erhält man zwar ein lokales maximum der funktion

A (k)

, von der aufgabenstellung her ist das ergebnis allerdings ebenfalls richtig.

anonymous

22:32 Uhr, 18.12.2010

kann mir jemand für

b)

einen lösungsweg geben :-) ICH KANN DAS mit dem steckbrief aufgabe nicht so gut, bitte

!!!

artiiK aktiv_icon

23:27 Uhr, 18.12.2010

Die Tangente lautet ja:

y = \frac{1}{k} x - \frac{1}{k}

Die Normale dementsprechend:

y = - k x + k

Mit der 2. Achse ist wahrscheinlich die y-Achse gemeint.

Der Flächeninhalt der Dreiecke ist doch klar:
Die Höhe ist 1. Sie ist fest und liegt auf der x-Achse.
Variieren tut nur die Grundlinie der Dreiecke. Die Länge ist die Summe aus den Beträgen von

f_{t} (0)

und

f_{n} (0) .

Das heißt , da

k > 0 :

A(Dreieck)=

\frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{k} + k) \cdot 1 (0,5

mal Grundlinie mal Höhe )
Den Flächeninhalt kann man nun als Funktion in Abhängigkeit von

k

sehen, denn der Flächeninhalt hat für verscheidene

k

verscheidene Werte: Wenn man die Ableitung gleich Null setzt ( Bedingung für Minima ) erhält man das gesuchte

k .

A' (k) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{k^{2}} + 1) \cdot 1 (

Die zweite Ableitung ( größer

0)

wäre die hinreichende Bedingung für das Minimum, bin jetzt aber zu faul den Term auszurechnen.. sie ist jedenfalls postiv )

Es soll also

- \frac{1}{2 k^{2}} + \frac{1}{2}

gleich Null sein. Um das

k

im Nenner wegzubekommen multipliziert man auf beiden Seiten mit

2 k^{2} :

\to - 1 + k^{2} = 0 . .

Das heißt:

k = 1 (

denn

k > 0)

Der Flächeninhalt ist also

\frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{1} + 1) \cdot 1 = 1 (

eine Flächeneinheit )

pleindespoir aktiv_icon

23:39 Uhr, 18.12.2010

Ich fürchte, woosar's Antwort passt nicht ganz zu Deiner Frage ...

f_{k} (x) = \frac{1}{k} \cdot l n x

a) Bestimme die Gleichung der tangenten tk und der zugehörigen Normalen nk an den Graphen von fk, im Punkt P(1)(0).

Um die Tangente zu bekommen, leiten wir mal ab - ok?

f ʹ_{k} (x) = \frac{1}{k} \cdot \frac{1}{x}

und setzen den x-Wert des Punktes (1|0) ein:

f ʹ_{k} (x) = \frac{1}{k} \cdot \frac{1}{1}

und haben die Steigung der Tangente

t_{k} = \frac{1}{k} \cdot x + b

Da die Tangente durch den Punkt(1|0) gehen muss, gilt:

0 = \frac{1}{k} \cdot 1 + b

und erhalten b.

die Normale geht nach dem gleichen Spiel nur müsste man wissen, wie sich die Steigung einer Normalen zu ihrer Grundgeraden verhält ... wo kannst du das rausfinden?

artiiK aktiv_icon

23:42 Uhr, 18.12.2010

pleindespoir, es gibt gleichungen für tangenten und normalen an kurven..

pleindespoir aktiv_icon

23:49 Uhr, 18.12.2010

ach, vergesst es - a) hat er ja schon und woosars Antwort passt zu b)

wieder nich fertig gelesen - sorry

anonymous

02:06 Uhr, 19.12.2010

??? also ganz verstanden habe ich es immer noch nicht ....wie kommt man auf die nebenbed. und auf die zielfkt und auf die ableitung ???

anonymous

13:07 Uhr, 19.12.2010

.....???????

DmitriJakov aktiv_icon

13:28 Uhr, 19.12.2010

Die Zielfunktion ist A. Schau Dir nochmal den post von artiiK an. Dort ist es Schritt für Schritt erklärt.

Wann wird A(Dreieck)=

\frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{k} + k)

minimal? Dann, wenn

A' = 0

wird und

A'' > 0

ist.

anonymous

14:53 Uhr, 19.12.2010

also ist dann der minimale flächeninhalt 1 oder wie ??

anonymous

17:51 Uhr, 20.12.2010

...........??

anonymous

18:33 Uhr, 20.12.2010

ICH HABE DAS IMMER NOCH NICHT GANZ VERSTANDEN KÖNNTE MIR JEMAND DAS KURZ ERKLÄREN!!!

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