logistische Gleichung

Logistische Gleichung - ein demographisches Modell
Die logistische Gleichung wurde ursprunglich 1837 von Pierre Francois Verhulst als demogra -
sches Modell eingefuhrt. Die Gleichung ist ein Beispiel dafur, wie komplexes, chaotisches Verhalten
aus einfachen nichtlinearen Gleichungen entstehen kann. Infolge einer richtungsweisenden
Arbeit des theoretischen Biologen Robert May aus dem Jahr 1976 fand sie weite Verbreitung.
Bereits 1825 stellte Benjamin Gompertz in einem verwandten Zusammenhang eine ahnliche
Gleichung vor.
Es werden mathematische Gesetzmaeßigkeiten gesucht, die die Entwicklung einer Population
modellhaft darstellen. Aus der Groeße xn der Population zu einem gewissen Zeitpunkt soll auf
die Groeße xn+1 nach einer Fortpflanzungsperiode (z. B. nach einem Jahr) geschlossen werden.
Nach Normierung wird angenommen, dass die Bevolkerungsdichte xn in das Intervall (0; 1) fallt.
Das logistische Modell lautet
x1 ${\displaystyle \in }$ (0; 1); xn+1 = rxn(1 - xn); n = 1; 2; :::
Fur 0 < r < 4 ist die Rekursionsfolge xn in (0; 1) definiert. r ist eine Art Vermehrungsfaktor, in
dem die uberlebenden Nachkommen eines Elternpaares enthalten sind, und 1-xn ist ein Bremsfaktor,
der das Anwachsen der Bevolkerung etwa durch Nahrungsverknappung oder Epidemien
verlangsamt. Wenn xn klein ist, kann man den Bremsfaktor vernachlassigen und die Population wachst geometrisch an fuer r > 1. Dann, bei wachsendem xn, naehert sich der Bremsfaktor der
Null, was zum Abnehmen von xn fuhrt. Man sollte erwarten, dass das Hin und Her sich einem
konstanten Wert annaehert. So ist es aber nicht fur alle zulassigen r.

Dynamik von xn in Abhangigkeit von r

Bei verschiedenen r koennen die folgenden Verhaltensweisen fuer groeßen beobachtet werden. Dabei
haengt dieses Verhalten nicht vom Anfangswert x1 ${\displaystyle \in }$(0; 1) ab, sondern nur von r:
Mit r von 0 bis 1 stirbt die Population in jedem Fall.
Mit r zwischen 1 bis 2 stellt sich ein Grenzwert ein. Die Annaherung an den Grenzwert
erfolgt monoton.
Mit r zwischen 2 und 3 nahert sich die Population ihrem Grenzwert wellenformig, d. h. die
Werte liegen ab einem bestimmten n abwechselnd uber und unter dem Grenzwert.
Mit r zwischen 3 und (etwa) 3,45 wechselt die Folge bei fast allen Startwerten (ausgenommen 0, 1) zwischen den beiden Umgebungen zweier Haeufungspunkte.
(Man beobachtete uber einen laengeren Zeitraum eine Maikaeferplage aller 4 Jahre.)
Mit r zwischen 1 + p6 und ungefaehr 3,54 wechselt die Folge bei fast allen Startwerten
zwischen den Umgebungen von vier Haeufungspunkten.
Wird r groeßer als 3,54, stellen sich erst 8, dann 16, 32 usw. Haufungspunkte ein. Die Intervalle
mit gleicher Anzahl von Haufungspunkten (Bifurkationsintervalle) werden immer
kleiner; das Laengenverhaeltnis zweier aufeinanderfolgender Bifurkationsintervalle naehert
sich der Feigenbaumkonstanten d = 4; 6692016:::. Diese Konstante ist auch in anderen
mathematischen Zusammenhaengen von Bedeutung.
Bei r annaehernd 3,57 beginnt das Chaos: Perioden sind nicht mehr erkennbar, winzige
Anderungen des Anfangswertes resultieren in unterschiedlichsten Folgenwerten - eine Eigenschaft
des Chaos. Die meisten Koeffizienten zwischen 3,57 und 4 fuehren zu chaotischem
Verhalten, obwohl fuer bestimmte r wieder endlich viele Haufungspunkte vorhanden sind,
d.h. im Chaos gibt es Inseln der Ordnung. Beispielsweise existieren in der Naehe von r =
3,82 bei steigendem r erst 3, dann 6, 12 usw. Haufungspunkte. Ebenso gibt es r-Werte mit
5 oder mehr Haufungspunkten - alle Periodendauern tauchen auf.
Dieser Ubergang von konvergentem Verhalten uber Periodenverdopplungen zu chaotischen Verhalten
ist generell fuer nichtlineare Systeme typisch, die in Abhaengigkeit von einem Parameter
chaotisches oder nicht chaotisches Verhalten zeigen.
Die zugehorige Dynamik kann anhand eines sogenannten Feigenbaumdiagramms (siehe Ubung)
veranschaulicht werden.

Aufgabe zur logistischen Gleichung
Sei xn die Dichte einer Population zum Zeitpunkt n und xn+1 die nach einer Fortpflanzungsperiode
z. B. nach einem Jahr. Nach Normierung wird angenommen, dass xn in das Intervall (0; 1)
fallt.
Pierre Francois Verhulst schlug 1837 das folgende demographische Modell vor, das die Entwicklung
einer Population modellhaft darstellt:
x0 ${\displaystyle \in }$ (0; 1); xn+1 = r*xn(1 - xn); n = 0; 1; 2; :::
r > 0 ist eine Art Vermehrungsfaktor, in dem die uberlebenden Nachkommen eines Elternpaares
enthalten sind, und 1 - xn ist ein Bremsfaktor, der das Anwachsen der Bevolkerung etwa
durch Nahrungsverknappung oder Epidemien verlangsamt. Wenn xn klein ist, kann man den
Bremsfaktor vernachlassigen und die Population wachst geometrisch an fur r > 1. Dann, bei
wachsendem xn, naehert sich der Bremsfaktor der Null, was zum Abnehmen der folgenden xn
fuhrt.
a) Fur welche r > 0 ist die Folge
x0 ${\displaystyle \in }$ (0; 1); xn+1 = r*xn(1 - xn); n = 0; 1; 2; :::
auf dem Intervall (0; 1) definiert ?
b) Welche Grenzwerte fur die Folge xn sind moeglich in Abhaengigkeit von r ?
c) Zeigen Sie, dass xn fuer 0 < r${\displaystyle \le }$ 1 eine Nullfolge ist.
d) Beweisen Sie, dass xn fur 1 < r < 2 konvergiert und zwar monoton fur n > 1. Welchen
Grenzwert besitzt xn in diesem Fall ? Veranschaulichen Sie sich die Rekursion am Graphen der
Funktion f(x) = rx(1 - x); 0 < x < 1.
e) Bestimmen Sie fur r = 2 in Abhangigkeit von x0 ${\displaystyle \in }$ (0; 1) eine explizite Darstellung der durch
die logistische Gleichung rekursiv definierten Zahlenfolge (xn) aus dem Ansatz
xn = a + bx${\displaystyle \uparrow }$2n
; n = 0; 1; 2; :::
mit geeigneten reellen Konstanten a; b; x.