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logistisches Wachstum

Schüler

Tags: logistisches Wachstum, Wachstumsmodell

anonymous

20:10 Uhr, 16.01.2012

Hallo an alle!,

bei folgender Aufgabe komme ich gerade nicht weiter:
4 Schüler setzen ein Gerücht in Umlauf (an der Schule gibt es

700

Sus). Wie schnell breitet sich das Gerücht aus, wenn jeder Schüler zwei weitere Schüler pro Minute informiert?

Meine Ansätze:
Im Buch steht die Formel

f (t) = \frac{S}{1 + (\frac{S}{f (0)} - 1) \cdot e^{- k \cdot S \cdot t}}

Unser Lehrer hat am Ende noch schnell gesagt, dass

k = 2

ist, hat das aber nicht erläutert. Wie kommt man denn darauf?
Und wie geht es jetzt weiter?
Soll die Ableitung bestimmt werden, weil man ja wissen will wie schnell sich das Gerücht ausbreitet?
Die Formel würde ja lauten:

\frac{700}{1 + (\frac{700}{4} - 1) \cdot e^{- 2 \cdot 700 \cdot t}}

oder?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentielles Wachstum (Mathematischer Grundbegriff)

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21:35 Uhr, 16.01.2012

Sus heisst schuelerinnen und schueler??

k

muss gegeben sein. sonst kommt man nicht drauf.

oder man kann

k

abschätzen, indem man sagt, dass nach einer minute

12

schueler vom geruecht wissen. weil jeder der 4 ja 2 weiteren vom geruecht erzaehlt. dann gibt es naemlich 8 neue wissende schueler plus den alten 4. hier geht man also davon aus, dass die saettigung von

700

schuelern erstmal keinen einfluss aufs ergebnis hat, weil ja

12

noch so weit von

700

entfernt ist.

dann kann man naemlich die formel nehmen und

f (1) = 12

setzen

\frac{700}{(1 + \frac{700}{4} - 1) e^{- k \cdot 700 \cdot 1}} = 12

um das

k

zu bestimmen. aber es steht nirgends in der aufgabe, dass man hier diese abschaetzung machen darf. deshalb hat euch der lehrer

k = 2

vorgegeben. wobei das eine ziemlich unrealistische zahl ist...

k = 0.0016

waere da realistischer... (ich glaub dein lehrer hat beim rausgehen einen fehler gemacht und euch das falsche

k

gegeben)...

wenn wir aber mit

k = 2

weiterrechnen ist deine vermutung korrekt und du musst die erste ableitung bilden.

anonymous

17:27 Uhr, 17.01.2012

Muss da wirklich die 1. Ableitung gebildet werden? Weil unser Lehrer hat gesagt, dass das oft eine große Fehlerquelle ist.
Ich habe die Formel jetzt ausgerechnet füt

t :

\frac{700}{1 + (\frac{700}{4} - 1) \cdot e^{- 2 \cdot 700 \cdot t}} | \cdot 1 + (\frac{700}{4} - 1) \cdot e^{- 2 \cdot 700 \cdot t}

700 = 1 + (\frac{700}{4} - 1) \cdot e^{- 2 \cdot 700 \cdot t} | - 1

699 = (\frac{700}{4} - 1) \cdot e^{- 2 \cdot 700 \cdot t}

699 = 174 \cdot e^{- 2 \cdot 700 \cdot t} | : 174

4,017 = e^{- 2 - 700 \cdot t} | \cdot ln

1,391 = (2 - 700) \cdot t

1,391 = - 689 \cdot t | + 689

t = 699,391

(umgerechnet in

11,6

Std. verbreitet sich das Gerücht an alle

700

Schüler

u

. Schülerinnen)

gebe ich die Funktion in den Taschenrechner ein und zeige mir die Tabelle und gebe das Ergebnis als x-Wert ein, kommt dann

700

raus. Also müsste das ja richtig sein,oder?

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17:45 Uhr, 17.01.2012

ich kann nicht wirklich nachvollziehen was du da gemacht hast...

aber ich nehme mal an, du wolltest gucken wann alle schueler von dem geruecht erfahren haben. dann hast du die gleichung mit

700

gleichgesetzt?? naja... die formel gibt dir ein wachstum mit oberer begrenzung von

700

an. das bedeutet, dass sich die formel nur der

700

annaehert aber nie erreicht.

dein ergebnis gibt also nur annaehernd

700

an, wenn du

t = 11,6

stunden einsetzt. dein taschenrechner rundet das aber sicherlich dann schon auf

700

.

deine umformungen sind nicht ganz stimmig... du triffst mit deinem ergebnis nur zufaellig die

700

weil alle grossen zahlen fuer

t

fast

700

ergeben.

damit wuerdest du aber sagen, nach wieviel zeit (fast) alle schueler von dem geruecht erfahren. das ist etwas anderes als wenn man nach der ausbreitungsgeschwindigkeit fragt. hierbei muss man nicht unbedingt ableiten, wenn man noch eine weitere formel fuer das logistische wachstum kennt. diese andere formel beinhaltet naemlich direkt die ableitung, so dass man diese nicht mehr ausrechnen muss. aber keine ahnung wie tief ihr in die materie gegangen seid.

l

anonymous

17:50 Uhr, 17.01.2012

Also war das alles total falsch was ich gemacht habe?
Ehrlich gesagt, weiß ich jetzt selber gar nicht ob jetzt ausgerechnet werden soll wann alle

700

Schüler von dem Gerücht erfahren oder ob einfach "nur" die Ableitung bestimmt werden soll...die Frage lautet ja:Wie schnell breitet sich das Gerücht aus? Und damit kann ja beides gemeint sein
Och Mann

: (

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17:59 Uhr, 17.01.2012

bin mir nicht sicher ob du alles falsch gemacht hast... deine formeln oben sind so verdreht, weil nicht richtig formatiert fuer diese website ;-)

nicht verzweifeln... dass du merkst wie schwammig diese aufgabe gestellt ist, zeigt, dass du ne menge verstanden hast ;-)

das liegt echt an der aufgabe!!! die ist einfach nicht durchdacht... deshalb kann man hier keine vernuenftigen antworten liefern...

geh einfach nochmal zum lehrer und teil ihm deine gedanken mit und frag ihn ob

k = 2

wirklich so richtig ist... was er mit ausbreitungsgeschwindigkeit genau meint??

anonymous

18:06 Uhr, 17.01.2012

Okay, ich frage da mal nach. Kannst du mir bitte sagen wie du auf die Zahl bei

k

gekommen bist?
Die Ableitung möchte ich trotzdem einmal versuchen. Quotientenregel ,richtig?

(das ist jetzt bestimmt falsch)

u = 700

u' = 0

v = 1 + (\frac{700}{4} - 1) \cdot e^{- 2 \cdot 700 \cdot t}

v' = - 2 \cdot (\frac{700}{4} - 1) \cdot e^{- 2 \cdot 700 \cdot t}

dann

700 \cdot - 2 \cdot (\frac{700}{4} - 1) \cdot e^{- 2 \cdot 700 \cdot t} - 0 \cdot 1 + (\frac{700}{4} - 1) \cdot e^{- 2 \cdot 700 \cdot t}

umgeformt

e^{- 2 \cdot 700 \cdot t} \cdot (700 - 2 \cdot (\frac{700}{4} - 1) - 0 \cdot 1 + (\frac{700}{4} - 1)

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18:18 Uhr, 17.01.2012

auf

k = 0.0016

bin ich mit der abschaetzung aus meinem ersten posting gekommen. wenn 4 schueler von dem geruecht wissen und jeder der vier 2 weiteren leuten davon erzaehlen, dann wissen ja 8 neue leute von dem geruecht. mit den vier von vorher sind das insgesamt

12

leute, die nach einer minute von dem geruecht wissen. also muss unsere formel

12

ausspucken wenn ich fuer

t = 1

einsetze, also

\frac{700}{1 + (\frac{700}{4} - 1) e^{- k \cdot 700 \cdot 1}} = 12

und das kann man jetzt nach

k

umstellen. dann ergibt sich ungefaehr

k = 0.0016

u = 700

u' = 0

v = 1 + (\frac{700}{4} - 1) \cdot e^{- 2 \cdot 700 \cdot t}

v' = - 2 \cdot 700 \cdot (\frac{700}{4} - 1) \cdot e^{- 2 \cdot 700 \cdot t}

einsetzen in

\frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^{2}}

ergibt dann...

anonymous

18:39 Uhr, 17.01.2012

Ah! Dankeschön, das habe ich jetzt verstanden. Nur noch eine Frage: Könntest du mir bitte einmal die Rechnung zum Auflösen nach

k

aufschreiben? Ich saß gerade selber dran, aber bei mir kam immer

- 0,00054 . .

. heraus. Wenn ich das in die Tabelle eingebe, kommt da näherungsweise 4 heraus.Das Komische: Gebe ich

0,00016

ein, kommt da auch näherungsweise 4 raus. Weißt du warum?

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18:46 Uhr, 17.01.2012

nicht

0,00016

sondern

0,0016

. du hast da eine null zuviel

\frac{700}{1 + (\frac{700}{4} - 1) e^{- k \cdot 700 \cdot 1}} = 12

700 = 12 \cdot (1 + (\frac{700}{4} - 1) e^{- k \cdot 700 \cdot 1})

\frac{700}{12} = 1 + (\frac{700}{4} - 1) e^{- k \cdot 700 \cdot 1}

\frac{700}{12} - 1 = (\frac{700}{4} - 1) e^{- k \cdot 700 \cdot 1}

\frac{175}{3} - 1 = 175 e^{- 700 k}

\frac{175}{3} - \frac{3}{3} = 175 e^{- 700 k}

\frac{172}{3} = 175 e^{- 700 k}

\frac{172}{3 \cdot 175} = e^{- 700 k}

\frac{172}{525} = e^{- 700 k}

ln (\frac{172}{525}) = - 700 k

\frac{ln (\frac{172}{525})}{- 700} = k

0.0016 = k

anonymous

19:14 Uhr, 17.01.2012

danke, aber auch mit 2 Nullen kommt bei meinem Ergebnis und bei deinem immer näherungsweise 4 raus...das ist irgendwie komisch

Eva88 aktiv_icon

20:06 Uhr, 17.01.2012

Warum nicht so ?

700 = 4 \cdot 3^{t}

175 = 3^{t}

t = \frac{ln (175)}{ln (3)}

t = 4,46 min

anonymous

20:46 Uhr, 17.01.2012

Okay, ich denke ich bespreche das noch mal mit meinem Lehrer.
Dankeschön für die Hilfe!

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