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Funktionen

Tags: Funktion

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23:59 Uhr, 19.06.2013

hallo. bei folgender aufgabe hab ich grad ne total lange leitung:

finde für folgende funktion die punkte, in denen sie sich lokal umkehren lässt und berechne dort die differenziale ihrer inversen.

f (x, y) = (\begin{matrix} e^{x} \\ cos (y) \end{matrix})

also die punkte zu finden, in denen sich die funktion umkehren lässt, heisst ja, die punkte zu finden wo die funktion explizit nach

x

bzw.

y

auflösbar ist. also vermut ich mal schwer, dass es mit dem thema implizite/explizite funktionen zu tun hat.

meine allgemeinen überlegungen waren wie folgt:

umkehrfuntion bedeutet ja:

f^{- 1} (f (x, y)) = (x, y) \Rightarrow f^{- 1} (\begin{matrix} e^{x} \\ cos (y) \end{matrix}) = (x, y) := f^{- 1} (\begin{matrix} u \\ v \end{matrix})

\Rightarrow f_{1}^{- 1} (u) = ln (u) = ln (e^{x}) = x, x \in [1, \infty)

f_{2}^{- 1} (v) = {cos}^{- 1} (v) = {cos}^{- 1} (cos (y)) = y, y \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]

also wäre die funktion umkehrbar in allen punkten

P = (x, y) \in [1, \infty) x [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]

?

mir scheint das aber zu einfach zu sein. ausserdem wüsste ich nicht wie ich jetzt daraus die differenziale der inversen in diesen punkten angeben kann.
wäre froh um etwas starthilfe :-D)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Sina86

13:38 Uhr, 20.06.2013

Hi,

für mich klingt das eher nach dem Umkehrsatz. Wie willst du denn den Satz über implizite Funktionen hier anwenden? Du hast kein Gleichungssystem gegeben.

Viele Grüße
Sina

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15:09 Uhr, 20.06.2013

oke dann hab ich da wohl was grundlegend nicht verstanden. ich hab jetzt nochmals im internet etwas recherchiert, aber ich muss zugeben ich werd nicht schlauer dabei. könntest du mir vielleicht etwas konkreter erklären, wie ich vorgehen soll? auf einem anderen forum hab ich eine ähnliche aufgabe gesehen. dort wurde gesagt, dass der satz über implizite funktionen angewandt werden soll. mehr stand dazu nicht.
der satz sagt ja, dass sich eine funktion nach einer variablen auflösen lässt (was doch genau die umkehrbarkeit in dieser variablen bedeutet) wenn:

(1)

f_{i} = 0, i = 1, . ., n

(2)

f_{i} \in C^{1} (U_{ε} (p)), i_{1}, ..., n

(3)

{det J}_{f} |_{p} \neq 0 (J_{f =}

Jacobi-Matrix)

in meinem fall wäre ja schon die

(1)

verletzt, da

e^{x}

nie 0 wird.

gruss lc

Sina86

15:28 Uhr, 20.06.2013

Hi,

also, keine Ahnung wie man in einem anderen Forum von dieser Frage auf den Satz über implizite Funktionen kommt, aber egal. Das grundlegende Problem ist, der Satz hat überhaupt keinen Zusammenhang zur Fragestellung. Du brauchst ein Gleichungssystem, nämlich z.B.

f (x, y) = (e^{x}, \cos (y)) = (0, 0)

dann trifft genau das Problem zu, dass du beschrieben hast, nämlich, dass

f_{1} (x, y) \neq 0

ist. Aber man könnte auch auf das Gleichungssystem

f (x, y) = (1, 0)

schauen, denn dann kann man den Satz über implizite Funktionen auf das Gleichungssystem

(e^{x} - 1, \cos y) = (0, 0)

anwenden, wo das Problem nicht auftritt.

Wie dem auch sei, hier ist kein Gleichungssystem gegeben, deswegen braucht man sich darüber auch nicht den Kopf zerbrechen. Daher: Umkehrsatz!

Der sagt dir nämlich, dass wenn die Jacobi-Matrix von

f

in einem Punkt

(x, y)

invertierbar ist, dann ist die Funktion lokal umkehrbar und die Jacobi-Matrix von

f^{- 1}

in dem Bereich (in dem

f

invertierbar ist) ist die inverse Jacobi-Matrix von

f

. Es macht also Sinn, die Jacobi-Matrix von

f

zu bestimmen und dann zu schauen, in welchen Punkten die Matrix NICHT invertierbar ist. In allen anderen Punkten gilt das oben gesagte dann nämlich.

Vielleicht kann man mit viel Biegen und Brechen ein Implizite-Funktionen-Problem aus dieser Frage machen, ich sehe aber gerade nicht wie und vor allem nicht warum man das machen sollte.

Eine Beschreibung des Satzes findest du z.B. in
http://www.google.de/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=5&ved=0CFUQFjAE&url=http%3A%2F%2Fwww2.math.uni-wuppertal.de%2F~fritzsch%2Fss09%2Fan2_15.pdf&ei=uQLDUa6zCcjxsgaaq4HIDg&usg=AFQjCNFXGrqq2GYf1eYXla5sQLS9kTYSoA&bvm=bv.48175248,d.Yms
-Satz 5.10, hinter dem Beweis gibt es auch Beispiele (oder in jedem Lehrbuch der Analysis II).

Viele Grüße!

Sina86

15:32 Uhr, 20.06.2013

P.S.:

Ich habe gerade gesehen, dass auf Wikipedia der Umkehrsatz (oder auch "Satz über die Umkehrabbildung") als Korollar vom Satz der impliziten Funktionen beschrieben wird. Mich wundert das ein wenig, da der Beweis den ich vom Satz über implizite Funktionen kenne den Umkehrsatz verwendet (es wäre dann eigentlich anders herum). Vlt. wurde deswegen der Satz über implizite Funktionen erwähnt. Wie dann aber die Zusammenhänge sind, kann ich dir nicht sagen.

Gruß

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16:22 Uhr, 20.06.2013

oke also das heisst, das man nur die determinante der jacobi-matrix überprüfen muss? also:

{det J}_{f =} det (\begin{matrix} e^{x} & 0 \\ 0 & - sin (y) \end{matrix}) = - e^{x} sin (y) = 0 \forall (x, y) \in {(x, y) \in ℝ^{2} | y = n π, n \in ℕ} = : M

also ist

f

invertierbar in

ℝ^{2} \ M

oder?

Sina86

17:17 Uhr, 20.06.2013

Wenn du nun noch das "

n π, n \in ℕ

" in "

n π, n \in ℤ

" änderst, würde ich dir da voll und ganz zustimmen ;-)

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21:42 Uhr, 20.06.2013

ach ja, klar. kleiner schönhetisfehler :-P) vielen dank. aber wie berechne ich nun die ableitung der inversen?

Sina86

23:32 Uhr, 20.06.2013

Na, schau dir doch noch mal den Satz ganz genau an...

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09:52 Uhr, 21.06.2013

ach ich seh wohl den wald vor lauter bäumen nicht mehr. wird höchste zeit, dass diese prüfung mal vorbei ist. also da steht ja:

D f^{- 1} (y) = {(D f (x))}^{- 1}

wobei der linke ausdruck ja der gesuchte ist. der rechte ist einfach die inverse der jacobi-matrix oder? also:

{(D f (x))}^{- 1} = {(\begin{matrix} e^{x} & 0 \\ 0 & - sin (y) \end{matrix})}^{- 1} = (\begin{matrix} e^{- x} & 0 \\ 0 & - {sin (y)}^{- 1} \end{matrix}) = D f^{- 1} (y)

würde ja einfach fast nicht gehen, aber stimmt das auch?

Sina86

14:42 Uhr, 21.06.2013

Also, die grundsätzliche Idee stimmt, aber so einfach ist das mit dem invertieren nicht... Siehe de.wikipedia.org/wiki/Regul%C3%A4re_Matrix#Formel_f.C3.BCr_2x2-Matrizen

Da gibt es eine Formel, wie man die Matrix invertieren tut... ;-)

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15:00 Uhr, 21.06.2013

also das ist doch einfach die cramersche regel. aber für diagonalmatrizen, wie

J_{f}

ja eine ist, gilt doch:

sei

D =

diag

(d_{1}, ..., d_{n}) \Rightarrow

D^{- 1} =

diag

{(d_{1}, ..., d_{n})}^{- 1} =

diag

(d_{1}^{- 1}, ..., d_{n}^{- 1})

also muss man halt einfach die diagonalen elemente hoch

(- 1)

nehmen. in diesem beispiel brachts da doch keine kompliziertere rechnung oder?

Sina86

15:10 Uhr, 21.06.2013

Sorry, klar, hast Recht. Kommt auch auf dasselbe raus, es kam mir erst ein wenig seltsam vor, da ich irgendwie gedacht hab, dass der Sinus und die e-Fkt die Plätze tauschen müssen, aber die kürzen sich dann wieder weg. Also, alles gut :-)

Und da du genau die Fälle, wo

\sin y = 0

ist ausgeschlossen hast, ist auch alles wohldefiniert...

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